A. Jenis matriks

(1)   Matriks Baris

Matriks yang terdiri dari 1 baris saja. Contohnya:

(2)   Matriks Kolom

Matriks yang terdiri dari 1 kolom saja. Contohnya:

(3)   Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Contohnya:

(4)   Matriks Simetris

Matriks yang bila ditranspos menghasilkan matriks yang sama (\(A = A^T\)). Contohnya:

(5)   Matriks Diagonal

Matriks yang semua elemennya 0 kecuali diagonalnya. Contohnya:

(6)   Matriks Identitas

Matriks yang diagonalnya 1 dan semua elemen lainnya 0. Contohnya:

(7)   Matriks Nol

Matriks yang semua elemennya 0. Contohnya:

B. Ordo Matriks

Ordo matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom dari matriks. Ordo matriks dinyatakan dalam bentuk:

 

C. Transpose Matriks

Transpose matriks adalah sebuah operasi matriks dengan mengubah komponen baris dalam suatu matriks menjadi komponen kolom, atau sebaliknya komponen kolom menjadi baris. Transpose matriks dari A disimbolkan dengan A^T

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \rightarrow A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \)

D. Kesamaan Dua Matriks

Dua buah matriks dinyatakan sama apabila:

• • Ordo kedua matriks sama
  • Komponen dalam matriks yang bersesuaian sama

\begin{equation*} \begin{split} \begin{pmatrix} {\color {blue} x} & 2 \\ 5 & {\color {red} 7} \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} {\color {blue} 6} & 2 \\ 5 & {\color {red} y} \end{pmatrix} \\\\ x & = 6 \\ y & = 7 \end{split} \end{equation*}

E. Penjumlahan matriks

Matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan bila memiliki ordo yang sama.

Dua buah matriks dapat dijumlahkan dan dikurangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan komponen-komponen yang bersesuaian.

 

Contoh:

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 8 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 9 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

 

 

F. Perkalian Skalar dan Matriks

Skalar dikalikan suatu matriks dilakukan dengan cara mengalikan skalar tersebut dengan komponen-komponen dalam matriks.

 

Contoh:

\begin{equation*} \begin{split} A & = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \\ \\ 2A & = 2 \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 6 & 2 \times -2 \\ 2 \times 3 & 2 \times 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -4 \\ 6 & 10 \end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}

G. Perkalian Matriks dan Matriks

Dua buah matriks \(A\) dan \(B\) dapat dikalikan menjadi \(A \times B = C\) dengan syarat:

• • Jumlah kolom pada matriks \(A\) = jumlah baris pada matriks \(B\)
  • Hasil perkalian matriks \(A \times B\) adalah matriks \(C\) dengan ordo jumlah baris matriks \(A\) × jumlah kolom matriks \(B\)

\(A_{{\color {blue} m} \text{ x } n} \times B_{n \text{ x } {\color {red} p}} = C_{{\color {blue} m} \text{ x } {\color {red} p}}\)

---

Contoh 1

\begin{equation*} \begin{split} A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} _{{\color {red}2} \times 2} \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ \end{pmatrix} _{2 \times {\color {red}1}} \\ \end{split} \end{equation*}

Hasil perkalian matriks A × B adalah matriks dengan ordo 2 × 1

 

\begin{equation*} \begin{split} A \times B & = \begin{pmatrix} {\color{blue} 1} & {\color{blue} 5} \\ {\color{brown} 3} & {\color{brown} 2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\color{red} 4}\\ {\color{red} 6} \\ \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} ({\color{blue} 1} \times {\color{red} 4}) + ({\color{blue} 5} \times {\color{red} 6}) \\ ({\color{brown} 3} \times {\color{red} 4}) + ({\color{brown} 2} \times {\color{red} 6}) \\ \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} {\color{blue} 34} \\ {\color{brown} 24} \end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}

---

Contoh 2

\begin{equation*} \begin{split} A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ \end{pmatrix} _{{\color {red}1} \times 2} \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 8 & 5 \\ \end{pmatrix} _{2 \times {\color {red}2}} \\ \end{split} \end{equation*}

Hasil perkalian matriks A × B adalah matriks dengan ordo 1 × 2

 

\begin{equation*} \begin{split} A \times B & = \begin{pmatrix} {\color{red} 4} & {\color{red} 2} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\color{blue} 3} & {\color{brown} 6} \\ {\color{blue} 8} & {\color{brown} 5} \\ \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} ({\color{red} 4} \times {\color{blue}3}) + ({\color{red} 2} \times {\color{blue} 8}) & ({\color{red} 4} \times {\color{brown}6}) + ({\color{red} 2} \times {\color{brown} 5}) \\ \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} {\color{blue}28} & {\color{brown} 34} \\ \end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}

---

Contoh 3

\begin{equation*} \begin{split} A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 9 \end{pmatrix} _{{\color {red}2} \times 2} \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} _{2 \times {\color {red}2}} \\ \end{split} \end{equation*}

Hasil perkalian matriks A × B adalah matriks dengan ordo 2 × 2

 

\begin{equation*} \begin{split} A \times B & = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} (2 \times 4) + (7 \times 3) & (2 \times 2) + (7 \times 5) \\ (1 \times 4) + (9 \times 3) & (1 \times 4) + (9 \times 5) \\ \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} 29 & 39  \\ 31 & 49 \end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}

---

Contoh 4

\begin{equation*} \begin{split} A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 5 \\ 3 & 8 & 2 & 1 \end{pmatrix} _{{\color {red}2} \times 4} \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 1\\ 5 & 9 & 4 \\ 2 & 7 & 2 \\ 1 & 4 & 6 \end{pmatrix} _{4 \times {\color {red}3}} \\ \end{split} \end{equation*}

Hasil perkalian matriks A × B adalah matriks dengan ordo 2 × 3

 

\begin{equation*} \begin{split} A \times B & = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 5 \\ 3 & 8 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 6 & 1\\ 5 & 9 & 4 \\ 2 & 7 & 2 \\ 1 & 4 & 6 \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} (4 \times 3) + (2 \times 5) + (1 \times 2) + (5\times 1)  & (4 \times 6) + (2 \times 9) + (1 \times 7) + (5 \times 4) & (4 \times 1) + (2 \times 4) + (1 \times 2) + (5 \times 6) \\ (3 \times 3) + (8 \times 5) + (2 \times 2) + (1\times 1)  & (3 \times 6) + (8 \times 9) + (2 \times 7) + (1 \times 4) & (3 \times 1) + (8 \times 4) + (2 \times 2) + (1 \times 6) \\ \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} 29 & 69 & 44 \\ 54 & 108 & 45 \\ \end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}