Sebuah matriks memiliki nilai determinan bila matriks tersebut merupakan matriks persegi (memiliki jumlah baris dan kolom yang sama).

A. Determinan Matriks 2 × 2

Jika matriks A adalah \(A =\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}\), maka determinan dari matriks A adalah \(|A| =\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix}= ad - bc\)

B. Determinan Matriks 3 × 3

Jika matriks A adalah \(A =\begin{pmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \\\end{pmatrix}\)

maka determinan dari matriks A adalah:

\begin{equation*} \begin{split} |A| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{vmatrix} = a \: \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b \: \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c \: \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \end{split} \end{equation*}

C. Matriks Singular

Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya sama dengan nol.

Matriks singular tidak memiliki invers.

D. Sifat-sifat Determinan Matriks

(1)   \(|A| = |A^T|\) dimana \(A^T\) adalah transpose dari matriks A

(2)   \(|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|}\) dimana \(A^{-1}\) adalah inverse dari matriks A

(3)   \(|k A| = k^n \:.\:|A|\) dimana k adalah konstanta dan n adalah jumlah baris atau kolom dari matriks A

(4)   \(|A B| = |A| \:.\: |B|\)

(5)   \(|A^n| = |A|^n\)

E. Efek Operasi Baris Elementer pada Determinan

Operasi baris elementer pada suatu matriks akan mengubah nilai determinan dari matriks tersebut dengan cara: