A. Operasi Baris Elementer

• • Baris pada matriks dapat dipertukarkan

\(\begin{pmatrix} {\color{red}1} & {\color{red}2} & {\color{red}3} \\ {\color{blue}4} & {\color{blue}5} & {\color{blue}6} \\ 7 & 8 & 9  \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} {\color{blue}4} & {\color{blue}5} & {\color{blue}6} \\ {\color{red}1} & {\color{red}2} & {\color{red}3} \\ 7 & 8 & 9  \\ \end{pmatrix}\)

 

• • Baris pada matriks dapat dikali dengan konstanta bukan nol

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ {\color{red}7} & {\color{red}8} & {\color{red}9} \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ {\color{red}14} & {\color{red}16} & {\color{red}18}\\ \end{pmatrix}\)

Baris ketiga dikali 2 \((2 \times R_3)\)

 

• • Baris pada matriks dapat dijumlah/dikurangi dengan baris lainnya

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} {\color{red}-7} & {\color{red}-8} & {\color{red}-9} \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9  \\ \end{pmatrix}\)

Baris pertama dikurangi oleh dua kali baris kedua \((R_1 - 2R_2)\)

B. Efek Operasi Baris Elementer pada Determinan

Operasi baris elementer pada suatu matriks akan mengubah nilai determinan dari matriks tersebut dengan cara:

Tindakan	Perubahan Pada Nilai Determinan
Menukar salah satu baris dengan baris lainnya	Determinan dikali −1
Mengalikan salah satu baris dengan konstanta k	Determinan dikali k
Menambah/mengurangi salah satu baris dengan baris lainnya	Tidak ada perubahan

C. Operasi Baris Elementer Untuk Menentukan Invers Matriks (Eliminasi Gauss-Jordan)

\(\text{Menentukan invers matriks }\begin{pmatrix}0 & -3 & -2  \\1 & -4 & -2  \\-3 & 4 & 1  \\ \end{pmatrix} \text{ dengan metode eliminasi Gauss-Jordan}\)

 

Akan dilakukan operasi baris elementer untuk mengubah matriks seperti di bawah ini:

 

\(\begin{pmatrix} 0 & -3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 4 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \xrightarrow {\text{operasi baris elementer}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & ? & ? & ? \\ 0 & 1 & 0 & | & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & | & ? & ? & ? \\ \end{pmatrix}\)

 

Eliminasi Gauss-Jordan

\(\begin{pmatrix} 0 & -3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 4 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{R_1 \text{ ditukar dengan }R_2} \begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 4 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

 

\(\begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 4 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{R_3 + 3R_1} \begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -5 & | & 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

 

\(\begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -5 & | & 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{-\frac{1}{3}R_2} \begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -5 & | & 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

 

\(\begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -5 & | & 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow[R_1 + 4R_2]{R_3 + 8 R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{2}{3} & | & -\frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & | & -\frac{8}{3} & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

 

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{2}{3} & | & -\frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & | & -\frac{8}{3} & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{3R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{2}{3} & | & -\frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -8 & 9 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

 

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{2}{3} & | & -\frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -8 & 9 & 3 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow[R_1 - \frac{2}{3}R_3]{R_2 - \frac{2}{3}R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 4 & -5 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 5 & -6 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -8 & 9 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

 

Invers matriks adalah \(\begin{pmatrix} 4 & -5 & -2 \\ 5 & -6 & -2 \\ -8 & 9 & 3 \end{pmatrix}\)

D. Operasi Baris Elementer Untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan (Eliminasi Gauss-Jordan)

Selesaikan sistem persamaan di bawah ini:

\begin{equation*} \begin{split} 7x + 2y + z & = 21\\ 3y - z & = 5\\ -3x + 4y -2z & = -1 \end{split} \end{equation*}

 

Akan dilakukan operasi baris elementer untuk mengubah matriks seperti di bawah ini:

 

\(\begin{pmatrix} 7 & 2 & 1 & | & 21  \\ 0 & 3 & -1 & | & 5  \\ -3 & 4 & -2 & | & -1  \\ \end{pmatrix} \xrightarrow {\text{operasi baris elementer}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & ?  \\ 0 & 1 & 0 & | & ?  \\ 0 & 0 & 1 & | & ? \\ \end{pmatrix}\)

 

Operasi baris elementer

\(\begin{pmatrix} 7 & 2 & 1 & | & 21  \\ 0 & 3 & -1 & | & 5  \\ -3 & 4 & -2 & | & -1  \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{\frac{1}{7} R_1} \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{7} & \frac{2}{7} & | & 3 \\ 0 & 3 & -1 & | & 5  \\ -3 & 4 & -2 & | & -1  \\ \end{pmatrix}\)

 

\(\begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{7} & \frac{1}{7} & | & 3 \\ 0 & 3 & -1 & | & 5  \\ -3 & 4 & -2 & | & -1  \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{R_3 + 3R_1} \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{7} & \frac{1}{7} & | & 3 \\ 0 & 3 & -1 & | & 5  \\ 0 & \frac{34}{7} & -\frac{11}{7} & | & 8  \\ \end{pmatrix}\)

 

\(\begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{7} & \frac{1}{7} & | & 3 \\ 0 & 3 & -1 & | & 5  \\ 0 & \frac{34}{7} & -\frac{11}{7} & | & 8  \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{\frac{1}{3}R_2} \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{7} & \frac{1}{7} & | & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & \frac{5}{3}  \\ 0 & \frac{34}{7} & -\frac{11}{7} & | & 8  \\ \end{pmatrix}\)

 

\(\begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{7} & \frac{1}{7} & | & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & \frac{5}{3}  \\ 0 & \frac{34}{7} & -\frac{11}{7} & | & 8  \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow[R_3 - \frac{34}{7}R_2]{R_1 - \frac{2}{7} R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{21} & | & \frac{53}{21} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & \frac{5}{3}  \\ 0 & 0 & \frac{1}{21} & | & -\frac{2}{21}  \\ \end{pmatrix}\)

 

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{21} & | & \frac{53}{21} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & \frac{5}{3}  \\ 0 & 0 & \frac{1}{21} & | & -\frac{2}{21}  \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{21R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{21} & | & \frac{53}{21} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & \frac{5}{3}  \\ 0 & 0 & 1 & | & -2  \\ \end{pmatrix}\)

 

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{21} & | & \frac{53}{21} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & \frac{5}{3}  \\ 0 & 0 & 1 & | & -2  \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow[R_2 + \frac{1}{3}R_3]{R_1 - \frac{5}{21}R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1  \\ 0 & 0 & 1 & | & -2  \\ \end{pmatrix}\)

 

\(x = 3, y = 1, z = -2\)