Menentukan Fungsi Kuadrat

Menentukan Fungsi Kuadrat

Menentukan Fungsi Kuadrat

 

MENENTUKAN FUNGSI KUADRAT

 

1. Diketahui titik potong kurva dengan sumbu X

\(y = a(x - x_1)(x - x_2) \)

 

2. Diketahui titik puncak/titik balik kurva

\(y = a(x - x_p)^2 + y_p \)

 

3. Diketahui tiga titik sembarang

Substitusi ketiga titik ke dalam persamaan kurva \(y = ax^2 + bx + c\) dan lakukan metode eliminasi untuk menentukan nilai a, b dan c

 

Contoh 01

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (–2,0), (4,0) dan (0,6)


Sketsa kurva dari titik-titik yang diketahui:

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Titik (–2,0) dan (4,0) merupakan titik potong kurva dengan sumbu X

Gunakan rumus 1:

\begin{equation*}
\begin{split}
& y = a(x - x_1)(x - x_2) \\\\
& y = a(x + 2)(x - 4)
\end{split}
\end{equation*}

 

Nilai a ditentukan dengan mensubstitusikan titik (0,6):

\begin{equation*}
\begin{split}
& y = a(x + 2)(x - 4) \\\\
& 6 = a(0 + 2)(0 - 4) \\\\
& 6 = -8a \\\\
& a = -\frac{3}{4}
\end{split}
\end{equation*}

 

Fungsi kuadrat adalah:

\begin{equation*}
\begin{split}
& y = -\frac{3}{4}(x + 2)(x - 4) \\\\
& y = -\frac{3}{4}(x^2 - 2x - 8) \\\\
& \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2} x + 6}
\end{split}
\end{equation*}


Contoh 02

Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (2,1) dan melalui titik (4,5)


Sketsa kurva dari titik-titik yang diketahui:

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Diketahui titik balik (2,1)

Gunakan rumus 2:

\begin{equation*}
\begin{split}
& y = a(x - x_p)^2 + y_p \\\\
& y = a(x - 2)^2 + 1
\end{split}
\end{equation*}

 

Nilai a ditentukan dengan mensubstitusikan titik (4,5):

\begin{equation*}
\begin{split}
& y = a(x - 2)^2 + 1 \\\\
& 5 = a(4 - 2)^2 + 1 \\\\
& 4 =  4a\\\\
& a = 1
\end{split}
\end{equation*}

 

Fungsi kuadrat adalah:

\begin{equation*}
\begin{split}
& y = (x - 2)^2 + 1 \\\\
& y = x^2 - 4x + 4 + 1 \\\\
& \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = x^2 - 4x + 5}
\end{split}
\end{equation*}


Contoh 03

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (3,14), (−1,2) dan (2,5)


Substitusi ketiga titik ke persamaan \(y = ax^2 + bx + c\)

 

Titik (3,14)

\begin{equation*} \begin{split} & y = ax^2 + bx + c \\\\ & 14 = a(3)^2 + b(3) + c \\\\ & 14 = 9a + 3b + c \quad {\color {red} \dotso (1)} \end{split} \end{equation*}

Titik (−1,2)

\begin{equation*} \begin{split} & y = ax^2 + bx + c \\\\ & 2 = a(-1)^2 + b(-1) + c \\\\ & 2 = a - b + c \quad {\color {red} \dotso (2)} \end{split} \end{equation*}

Titik (2,5)

\begin{equation*} \begin{split} & y = ax^2 + bx + c \\\\ & 5 = a(2)^2 + b(2) + c \\\\ & 5 = 4a + 2b + c \quad {\color {red} \dotso (3)} \end{split} \end{equation*}

 

 

Eliminasi variabel c dari persamaan (1) dan (2):

\begin{equation*} \begin{split} 9a + 3b + c & = 14 \\\\ a - b + c & = 2 \quad (-) \\\\ \hline \\ 8a + 4b & = 12 \quad {\color {blue} \text{bagi } 4}\\\\ 2a + b & = 3 \quad {\color {red} \dotso (4)} \end{split} \end{equation*}

Eliminasi variabel c dari persamaan (1) dan (3):

\begin{equation*} \begin{split} 9a + 3b + c & = 14 \\\\ 4a + 2b + c & = 5 \quad (-) \\\\ \hline \\ 5a + b & = 9 \quad {\color {red} \dotso (5)} \end{split} \end{equation*}

 

 

Eliminasi variabel b dari persamaan (4) dan (5):

\begin{equation*}
\begin{split}
2a + b & = 3 \\\\
5a + b & = 9 \quad (-) \\\\
\hline \\
-3a & = -6 \\\\
a & = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {2}
\end{split}
\end{equation*}

 

Substitusi nilai a ke persamaan (4):

\begin{equation*}
\begin{split}
& 2a + b = 3  \\\\
& 2(2) + b = 3  \\\\
& b = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {-1}
\end{split}
\end{equation*}

 

Substitusi nilai a dan b ke persamaan (1), (2) atau (3):

\begin{equation*}
\begin{split}
& 9a + 3b + c = 14 \\\\
& 9(2) + 3(-1) + c = 14  \\\\
& c = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {-1}
\end{split}
\end{equation*}

 

Fungsi kuadrat \(y = 2x^2 -x -1\)



Lanjutkan Ke Latihan Soal

Kembali Ke Bab Utama