Soal 1
Sebuah partikel bergetar menurut grafik di bawah ini:
(1) Amplitudo getaran 2 cm
(2) Periode getaran 12 detik
(3) Frekuensi sudut getaran \(\frac{\pi}{6}\text{ rad/s}\)
(4) Sudut fase awal \(\frac{\pi}{6}\)
Pernyataan yang tepat adalah ...
(A) (1), (2) dan (3) benar
(B) (1) dan (3) benar
(C) (2) dan (4) benar
(D) Hanya (4) benar
(E) Semua benar
Jawab: E
(1) Amplitudo getaran 2 cm (Benar)
(2) Periode getaran 12 detik (Benar)
Karena \(\frac{1}{2} T = 6\) detik, maka \(T = 12\) detik
(3) Frekuensi sudut getaran \(\frac{\pi}{6}\text{ rad/s}\) (Benar)
\(\omega = \dfrac{2\pi}{T}= \dfrac{2\pi}{12} = \dfrac{\pi}{6} \text{ rad/s}\)
(4) Sudut fase awal \(\frac{\pi}{6}\) (Benar)
\begin{equation*}
\begin{split}
y & = A \sin (\omega t + \theta_o) \\
y & = 2 \sin (\tfrac{\pi}{6} t + \theta_o) \\
\end{split}
\end{equation*}
Pada t = 0, y = 1 cm,
\begin{equation*}
\begin{split}
1 & = 2 \sin \theta_o \\
\tfrac{1}{2} & = \sin \theta_o\\
\frac{\pi}{6} & = \theta_o
\end{split}
\end{equation*}
Soal 2
Sebuah bandul bergetar harmonis seperti gambar di bawah ini:
(1) Kecepatan maksimum terjadi pada titik B
(2) Energi kinetik maksimum terjadi pada titik A
(3) Energi potensial maksimum terjadi pada titik C
(4) Percepatan maksimum terjadi pada titik B
Pernyataan yang tepat adalah ...
(A) (1), (2) dan (3) benar
(B) (1) dan (3) benar
(C) (2) dan (4) benar
(D) Hanya (4) benar
(E) Semua benar
Jawab: B
(1) Kecepatan maksimum terjadi pada titik B (Benar)
(2) Energi kinetik maksimum terjadi pada titik A (Salah)
\(E_k = \frac{1}{2} mv^2\)
Pada titik A, \(v = 0\), sehingga \(E_{\text{k A}} = 0\)
(3) Energi potensial maksimum terjadi pada titik C (Benar)
\(E_p = \frac{1}{2} ky^2\)
Pada titik C, \(y = A\), sehingga \(E_p\) maksimum
(4) Percepatan maksimum terjadi pada titik B (Salah)
\(a = -\omega^2 y\)
Pada titik B, \(y = 0\), sehingga \(a = 0\)
Soal 3
Sebuah partikel dengan massa 9 kg bergetar harmonis dengan periode 6 detik dan amplitudo 5 cm. Mula-mula simpangan berada pada \(\frac{1}{2}\) simpangan maksimumnya.
(1) \(y = 5 \sin \frac{\pi}{6} (2t + 1)\) cm
(2) \(v = \frac{5}{3} \pi \cos \frac{\pi}{6} (2t + 1)\) cm/s
(3) \(a = -\frac{5}{9} \pi^2 \sin \frac{\pi}{6} (2t + 1)\) cm/s²
(4) \(E_{\text{mekanik}} = \frac{1}{800}\pi^2\) Joule
Pernyataan yang tepat adalah ...
(A) (1), (2) dan (3) benar
(B) (1) dan (3) benar
(C) (2) dan (4) benar
(D) Hanya (4) benar
(E) Semua benar
Jawab: E
(1) \(y = 5 \sin \frac{\pi}{6} (2t + 1)\) cm (Benar)
Pada \(t = 0\), \(y = \frac{1}{2}A\)
\begin{equation*}
\begin{split}
y & = A \sin (\omega t + \theta_0) \\\\
\tfrac{1}{2} \cancel{A} & = \cancel{A} \sin (0 + \theta_0) \\\\
\tfrac{1}{2} & =\sin \theta_0 \\\\
\tfrac{\pi}{6} & = \theta_0 \\\\
\end{split}
\end{equation*}
Maka persamaan simpangan menjadi:
\begin{equation*}
\begin{split}
y & = A \sin (\omega t + \theta_0) \\\\
& = A \sin (\tfrac{2 \pi}{T} \: t + \theta_0) \\\\
& = 5 \sin (\tfrac{2 \pi}{6} \: t + \tfrac{\pi}{6}) \\\\
y & = 5 \sin \tfrac{\pi}{6} (2t + 1) \\
\end{split}
\end{equation*}
(2) \(v = \frac{5}{3} \pi \cos \frac{\pi}{6} (2t + 1)\) cm/s (Benar)
\begin{equation*}
\begin{split}
y & = 5 \sin \tfrac{\pi}{6} (2t + 1) \\\\
v & = \tfrac{dy}{dt} = 5 \:.\: \tfrac{2 \pi}{6} \cos \tfrac{\pi}{6} (2t + 1)\\\\
v & = \tfrac{5}{3} \pi \cos \tfrac{\pi}{6} (2t + 1)
\end{split}
\end{equation*}
(3) \(a = -\frac{5}{9} \pi^2 \sin \frac{\pi}{6} (2t + 1)\) cm/s² (Benar)
\begin{equation*}
\begin{split}
v & = \tfrac{5}{3} \pi \cos \tfrac{\pi}{6} (2t + 1) \\\\
a & = \tfrac{dv}{dt} = -\tfrac{5}{3} \pi \:.\: \tfrac{2 \pi}{6} \sin \frac{\pi}{6} (2t + 1) \\\\
a & = -\tfrac{5}{9} \pi^2 \sin \tfrac{\pi}{6} (2t + 1)
\end{split}
\end{equation*}
(4) \(E_{\text{mekanik}} = \frac{1}{800}\pi^2\) Joule (Benar)
\begin{equation*}
\begin{split}
E_{\text{M}} & = \tfrac{1}{2} \: k \: A^2 \\\\
& = \tfrac{1}{2} \: \omega^2 \:.\: m \:.\: A^2 \\\\
& =\tfrac{1}{2} \: (\tfrac{\pi}{3})^2 \:.\: 9 \:.\: (0,05)^2 \\\\
E_{\text{M}} & = \tfrac{1}{800}\pi^2
\end{split}
\end{equation*}
Soal 4
Sebuah partikel bergetar harmonis dengan frekuensi 0,5 Hz dan amplitudo 0,2 m. Pada detik pertama, kecepatan getar partikel \(-0,1 \pi \sqrt{3}\) m/s. Berapakah sudut fase awal getaran?
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°
(E) 90°
Jawab: B
\begin{equation*}
\begin{split}
y & = A \sin (\omega t + \theta_o) \\\\
v & = \tfrac{dy}{dt} = \omega A \cos (\omega t + \theta_o) \\\\
v & = 2 \pi f \:.\: A \cos (2 \pi f \:.\: t + \theta_o) \\\\
-0,1 \pi \sqrt{3} & = 2 \pi \:.\: 0,5 \:.\: 0,2 \cos (2 \pi \:.\: 0,5 \:.\: 1 + \theta_o) \\\\
-0,1 \pi \sqrt{3} & = 0,2 \pi \cos (2 \pi \:.\: 0,5 \:.\: 1 + \theta_o) \\\\
-\tfrac{1}{2} \sqrt{3} & = \cos (\pi + \theta_o) \\\\
\pi + \theta_o & = \tfrac{5}{6} \pi \text{ atau } \tfrac{7}{6} \pi \quad {\color{blue} \text{(kuadran 2 atau 3)}} \\\\
\theta_o & = -\tfrac{1}{6} \pi \text{ atau } \tfrac{1}{6} \pi \\
\end{split}
\end{equation*}
Soal 5
Pada detik keberapakah sebuah getaran harmonis dengan frekuensi \(\dfrac{1}{\pi}\text { Hz}\) memiliki simpangan \(\sqrt{3} \text{ m}\) dan kecepatan 2 m/s?
(A) \(\dfrac{\pi}{2} \text{ s}\)
(B) \(\dfrac{\pi}{3} \text{ s}\)
(C) \(\dfrac{\pi}{6} \text{ s}\)
(D) \(\dfrac{\pi}{8} \text{ s}\)
(E) \(\dfrac{\pi}{12} \text{ s}\)
Jawab: C
\begin{equation*}
\begin{split}
v & = \omega \sqrt{A^2 - y^2} \\
v & = 2\pi f \sqrt{A^2 - y^2} \\
2 & = 2\pi \:.\:\frac{1}{\pi} \sqrt{A^2 - (\sqrt{3})^2}\\
1 & = \sqrt{A^2 - 3} \\
1 & = A^2 - 3 \\
A^2 & = 4 \\
A & = 2 \\
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
y & = A \sin \omega t \\
\sqrt{3} & = 2\sin 2t \\
\tfrac{1}{2} \sqrt{3} & = \sin 2t \\
\frac{\pi}{3} & = 2t \\
t & = \frac{\pi}{6} \\
\end{split}
\end{equation*}
Soal 6
Suatu partikel bergetar selaras dengan amplitudo A dan periode T. Partikel mulai bergetar dari titik setimbangnya ke arah atas. Waktu tersingkat yang diperlukan untuk mencapai simpangan \(\dfrac{1}{2} A\) saat partikel bergerak ke arah bawah adalah ... detik
(A) \(\frac{1}{12} T\)
(B) \(\frac{5}{12} T\)
(C) \(\frac{7}{12} T\)
(D) \(\frac{11}{12} T\)
(E) \(T\)
Jawab: B
\begin{equation*}
\begin{split}
y & = A \sin \omega t \\
\tfrac{1}{2} A & = A \sin \omega t \\
\tfrac{1}{2} & = \sin \omega t \\
\omega t & = \frac{\pi}{6} \text{ atau } \frac{5\pi}{6} \quad {\color{blue} \text{kuadran 1 atau 2}} \\
\end{split}
\end{equation*}
Partikel sedang bergerak ke bawah berarti nilai v negatif.
\(v = \omega A \cos \omega t\)
Nilai v negatif bila \(\cos \omega t\) negatif yang berarti \(\omega t\) berada di kuadran 2
\begin{equation*}
\begin{split}
\omega t & = \frac{5\pi}{6} \\
\frac{2\pi}{T} \:.\: t & = \frac{5\pi}{6} \\
t & = \tfrac{5}{12} T \\
\end{split}
\end{equation*}
Soal 7
Sebuah benda melakukan gerak harmonis dengan amplitudo A dan frekuensi sudut ω. Pada saat kecepatan benda sama dengan \(\dfrac{4}{5}\) kecepatan maksimumnya, percepatannya adalah ..
(A) \(-0,8 \: \omega^2 A\)
(B) \(-0,6 \:\omega^2 A\)
(C) \(-0,5 \:\omega^2 A\)
(D) \(-0,4 \:\omega^2 A\)
(E) \(-0,2 \:\omega^2 A\)
Jawab: B
\begin{equation*}
\begin{split}
y & = A \sin \omega t \\
v & = \frac{dy}{dt} = \omega A \cos \omega t\\
\tfrac{4}{5} \omega A & = \omega A \cos \omega t\\
\tfrac{4}{5} & = \cos \omega t\\
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
y & = A \sin \omega t \\
v & = \tfrac{dy}{dt} = \omega A \cos \omega t\\
a & = \tfrac{dv}{dt} = -\omega^2 A \sin \omega t \\
a & = -\omega^2 A \:.\; \tfrac{3}{5} \\
a & = - 0,6 \: \omega^2 A
\end{split}
\end{equation*}
Soal 8
Sebuah partikel bergerak harmonik sederhana dengan periode 16 sec. Kapankah pertama kalinya terjadi energi potensial partikel sama dengan energi kinetiknya?
(A) 1 sec
(B) 2 sec
(C) 3 sec
(D) 4 sec
(E) 5 sec
Jawab: B
\begin{equation*}
\begin{split}
E_p & = E_k \\
\cancel {\tfrac{1}{2}} ky^2 & = \cancel {\tfrac{1}{2}} mv^2 \\
\omega^2 \:.\: \cancel {m} \:.\: y^2 & = \cancel {m} \:.\: v^2 \\
\omega^2 \:.\: y^2 & = v^2 \\
\omega \:.\: y & = v \\
\cancel {\omega \:.\: A} \sin\omega t & = \cancel {\omega A} \cos \omega t \\
\sin\omega t & = \cos \omega t \\
\tan \omega t & =1 \\
\omega t & = \frac{\pi}{4} \\
\frac{2\pi}{T} \:.\: t & = \frac{\pi}{4} \\
\frac{2\pi}{16} \:.\: t & = \frac{\pi}{4} \\
t & = 2
\end{split}
\end{equation*}
Soal 9
Sebuah partikel yang massanya 5 kg bergetar dengan amplitudo 10 cm dan periode 0,25π detik. Besar gaya maksimum partikel tersebut adalah ...
(A) 4 N
(B) 8 N
(C) 12 N
(D) 16 N
(E) 32 N
Jawab: E
\begin{equation*}
\begin{split}
F & = m \:.\: a \\
F & = m \:.\: \omega^2 \:.\: y \\
F_{max} & = m \:.\: \omega^2 \:.\: y_{max} \\
& = m \:.\: \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \:.\: y_{max} \\
& = 5 \:.\: \left(\frac{2\pi}{0,25 \pi}\right)^2 \:.\: 0,1 \\
F_{max} & = 32 \\
\end{split}
\end{equation*}
Soal 10
Dua buah osilator bergetar dengan fase sama pada t = 0 s. Frekuensi getaran itu 4 Hz dan 5 Hz. Setelah 0,2 sekon, kedua getaran berselisih sudut fase ...
(A) \(0,1 \pi\)
(B) \(0,2 \pi\)
(C) \(0,3 \pi\)
(D) \(0,4 \pi\)
(E) \(0,5\pi\)
Jawab: D
Fase = \(\varphi = \frac{t}{T}\)
Beda fase dari dua getaran:
\begin{equation*}
\begin{split}
\Delta \varphi & = \frac{t}{T_2} - \frac{t}{T_1} \\
& = t\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right) \\
& = t(f_2 - f_1) \\
& = 0,2(5 - 4) \\
& = 0,2 \\
\end{split}
\end{equation*}
Beda sudut fase = \(\Delta \varphi \times 2\pi = 0,2 \times 2 \pi = 0,4 \pi\)
Soal 11
Sebuah ayunan sederhana memiliki panjang tali l dan berayun dengan frekuensi f. Jika frekuensi ayunan ingin dibuat dua kali semula, maka tali harus …
(A) diperpendek menjadi \(\frac{1}{4}\) kali panjang semula
(B) diperpendek menjadi \(\frac{1}{2}\) kali panjang semula
(C) diperpanjang menjadi \(2\) kali panjang semula
(D) diperpanjang menjadi \(4\) kali panjang semula
(E) Bukan salah satu di atas
Jawab: A
\begin{equation*}
\begin{split}
T & = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \\
f & = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \\
f & \sim \frac{1}{\sqrt{l}} \\
\end{split}
\end{equation*}
Frekuensi berbanding terbalik dengan akar kuadrat dari panjang tali.
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{f_1}{f_2} & = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} \\
\frac{f}{2f} & = \sqrt{\frac{l_2}{l}} \\
\frac{1}{2} & = \sqrt{\frac{l_2}{l}} \\
\frac{1}{4} & = \frac{l_2}{l} \\
l_2 & = \frac{1}{4} l
\end{split}
\end{equation*}
Soal 12
Di dalam sebuah lift yang sedang diam, sebuah pendulum bergerak harmonis dengan frekuensi f. Jika lift bergerak turun ke bawah dengan percepatan 1/4 g, frekuensi pendulum menjadi...
(A) \(\frac{1}{4}\) f
(B) \(\frac{1}{2}\) f
(C) \(2\) f
(D) \(4\) f
(E) \(\frac{1}{2} \sqrt{3}\) f
Jawab: E
Lift bergerak turun ke bawah:
\begin{equation*}
\begin{split}
\sum F & = m \:.\: a \\
mg - N & = m \:.\: a \\
N & = mg - ma \\
N & = m (g - a) \\
\end{split}
\end{equation*}
Saat lift bergerak turun ke bawah, ayunan akan mengalami percepatan sebesar \(g - a\)
\begin{equation*}
\begin{split}
T & = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}} \\
f & = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \\
f & \sim \sqrt{g} \\
\end{split}
\end{equation*}
Frekuensi berbanding lurus dengan akar kuadrat dari percepatan.
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{f_1}{f_2} & = \sqrt{\frac{g_1}{g_2}} \\
\frac{f}{f_2} & = \sqrt{\frac{g}{g - a}} \\
\frac{f}{f_2} & = \sqrt{\frac{g}{g - \frac{1}{4} g}} \\
\frac{f}{f_2} & = \sqrt{\frac{g}{\frac{3}{4} g}} \\
\frac{f}{f_2} & = \sqrt{\frac{4}{3}} \\
\frac{f}{f_2} & = \frac{2}{\sqrt{3}} \\
f_2 & = \frac{1}{2} \sqrt{3}
\end{split}
\end{equation*}
Soal 13
Sebuah ayunan sederhana yang panjangnya 20 cm tergantung pada sebuah mobil. Mobil sedang berjalan pada sebuah tikungan lengkung yang berjari-jari 10√3 m dengan kecepatan 10√3 m/s. Periode ayunan adalah ...
(A) 0,1 π detik
(B) 0,33 π detik
(C) 0,2 π detik
(D) 0,2 π √2 detik
(E) 3,33 π detik
Jawab: C
Saat mobil bergerak melingkar, mobil akan mengalami percepatan gravitasi dan percepatan sentripetal.
Percepatan sentripetal:
\begin{equation*}
\begin{split}
a_s & = \frac{v^2}{R} \\
& = \frac{(10\sqrt{3})^2}{10\sqrt{3}} \\
& = 10\sqrt{3}
\end{split}
\end{equation*}
Percepatan total:
\begin{equation*}
\begin{split}
a & = \sqrt{g^2 + a_s^2} \\
& = \sqrt{10^2 + (10\sqrt{3})^2} \\
& = 20
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
T & = 2 \pi \sqrt{\frac{0,2}{20}} \\
& = 2 \pi \sqrt{0,01} \\
& = 2 \pi \:.\: 0,1 \\
& = 0,2 \pi \\
\end{split}
\end{equation*}
Soal 14
Sebuah benda digantungkan pada sebuah pegas dan kemudian digetarkan dengan periode T. Jika pegas tersebut dipotong menjadi 3 bagian sama panjang, disusun paralel dan digantungkan benda yang sama, periode getaran menjadi ...
(A) \(\frac{1}{9}\) T
(B) \(\frac{1}{3}\) T
(C) T
(D) \(3\) T
(E) \(9\) T
Jawab: B
Misalkan konstanta pegas sebelum dipotong adalah k
Jika pegas dipotong menjadi 3 bagian yang sama panjang maka masing-masing potongan pegas akan memiliki konstanta pegas sebesar 3k
Ketiga potongan pegas tersebut kemudian disusun paralel, sehingga nilai konstanta pegas total:
\(k_{\text{paralel}} = 3k + 3k + 3k = 9k\)
\begin{equation*}
\begin{split}
T & = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \\
T & \sim \sqrt{\frac{1}{k}} \\
\end{split}
\end{equation*}
T berbanding terbalik dengan akar kuadrat dari k
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{T_1}{T_2} & = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}} \\
\frac{T_1}{T_2} & = \sqrt{\frac{9k}{k}} \\
\frac{T}{T_2} & = 3 \\
T_2 & = \frac{1}{3} k \\
\end{split}
\end{equation*}
Soal 15
Sebuah pendulum bergerak harmonis dengan periode 24 detik. Jika sebuah penghalang diberikan seperti pada gambar di bawah ini, maka periode pendulum menjadi ...
(A) 9 detik
(B) 12 detik
(C) 18 detik
(D) 24 detik
(E) 30 detik
Jawab: C
Periode dihitung dengan membagi menjadi 2 gerakan, gerak A - B dan gerak B - C.
Gerak A - B adalah \(\frac{1}{4} periode mula-mula.
\(t_{AB} = \frac{24}{4} = 6 \text{ detik}\)
Gerak B - C
Pada gerak dari B ke C, akan dihitung periodenya dengan menggunakan perbandingan:
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{T_1}{T_2} & = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}} \\
\frac{24}{T_2} & = \sqrt{\frac{l}{\frac{1}{4}l}} \\
\frac{24}{T_2} & = 2 \\
T_2 & = 12 \\
\end{split}
\end{equation*}
Gerak B - C adalah \frac{1}{4} periode.
\(t_{BC} = \frac{12}{4} = 3 \text{ detik}\)
Total gerakan bolak-balik dari A - B - C - B - A adalah 18 detik
Soal 16
Pernyataan di bawah ini berkaitan dengan gaya pemulih pada gerak harmonis:
(1) Gaya pemulih memiliki arah menuju titik kesetimbangan
(2) Besar gaya pemulih berubah dan berbanding lurus dengan simpangan benda
(3) Pada pegas, gaya pemulih adalah gaya pegas yang besarnya adalah \(F = k \:.\: \Delta x\)
(4) Pada bandul, gaya pemulih adalah gaya berat/gaya gravitasi yang besarnya \(F = mg\)
Pernyataan yang tepat adalah ...
(A) (1), (2) dan (3) benar
(B) (1) dan (3) benar
(C) (2) dan (4) benar
(D) Hanya (4) benar
(E) Semua benar
Jawab: A
(1) Gaya pemulih memiliki arah menuju titik kesetimbangan (Benar)
(2) Besar gaya pemulih berubah dan berbanding lurus dengan simpangan benda (Benar)
\begin{equation*}
\begin{split}
F_{\text{pemulih}} & = m \:.\: a \\
F_{\text{pemulih}} & = m \:.\: - \omega^2 y \\
\end{split}
\end{equation*}
(3) Pada pegas, gaya pemulih adalah gaya pegas yang besarnya adalah \(F = k \:.\: \Delta x\) (Benar)
(4) Pada bandul, gaya pemulih adalah gaya berat/gaya gravitasi yang besarnya \(F = mg\) (Salah)
Gaya pemulih pada bandul adalah \(F = mg \sin \theta\)
Soal 17
Sebuah bola bergerak harmonis pada bidang lengkung licin seperti gambar di bawah ini.
(1) Gaya pemulih \(F = mg \sin \theta\)
(2) Frekuensi sudut \(\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}\)
(3) Kecepatan maksimum terjadi pada titik B
(4) Percepatan maksimum terjadi pada titik A dan C
Pernyataan yang tepat adalah ...
(A) (1), (2) dan (3) benar
(B) (1) dan (3) benar
(C) (2) dan (4) benar
(D) Hanya (4) benar
(E) Semua benar
Jawab: E
(1) Gaya pemulih \(F = mg \sin \theta\) (Benar)
(2) Frekuensi sudut \(\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}\) (Benar)
\begin{equation*}
\begin{split}
F_{\text{pemulih}} & = -mg \sin \theta \\\\
\cancel {-m} \:.\: a & = \cancel {-m}g \sin \theta \\\\
\omega^2 \cancel{y} & = g \frac{\cancel{y}}{R} \\\\
\omega^2 & = \frac{g}{R} \\\\
\omega & = \sqrt{\frac{g}{R}} \\
\end{split}
\end{equation*}
(3) Kecepatan maksimum terjadi pada titik B (Benar)
(4) Percepatan maksimum terjadi pada titik A dan C (Benar)
\(a = -\omega^2 \: y\)
Percepatan maksimum terjadi pada \(y_{max}\)
