A. DASAR-DASAR MATRIKS
1. Jenis matriks
(1) Matriks Baris
Matriks yang terdiri dari 1 baris saja. Contohnya:
\(\begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 5 & -2 & 8 \end{pmatrix}\)
(2) Matriks Kolom
Matriks yang terdiri dari 1 kolom saja. Contohnya:
\(\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 9 \end{pmatrix}\)
(3) Matriks Persegi
Matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Contohnya:
\(\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 4 & 6 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 7 & 9 \end{pmatrix}\)
(4) Matriks Simetris
Matriks yang bila ditranspos menghasilkan matriks yang sama (\(A = A^T\)). Contohnya:
\(\begin{pmatrix} 6 & {\color {blue}8} \\ {\color {blue}8} & 3 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 5 & {\color {blue}9} & {\color {red} 1} \\ {\color {blue}9} & 3 & {\color {brown} 4} \\ {\color {red} 1} & {\color {brown} 4} & 6 \end{pmatrix}\)
(5) Matriks Diagonal
Matriks yang semua elemennya 0 kecuali diagonalnya. Contohnya:
\(\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}\)
(6) Matriks Identitas
Matriks yang diagonalnya 1 dan semua elemen lainnya 0. Contohnya:
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
(7) Matriks Nol
Matriks yang semua elemennya 0. Contohnya:
\(\begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
2. Ordo Matriks
Ordo matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom dari matriks. Ordo matriks dinyatakan dalam bentuk:
Matriks di bawah ini memiliki 2 baris dan 3 kolom, sehingga ordo matriks adalah 2 × 3
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} _{{\color {red} 2 \text{ x } 3}}\)
Matriks di bawah ini memiliki 3 baris dan 2 kolom, sehingga ordo matriks adalah 3 × 2
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} _{{\color {red} 3 \text{ x } 2}}\)
Matriks di bawah ini memiliki 1 baris dan 3 kolom, sehingga ordo matriks adalah 1 × 3
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} _{{\color {red} 1 \text{ x } 3}}\)
Matriks di bawah ini memiliki 3 baris dan 1 kolom, sehingga ordo matriks adalah 3 × 1
\(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} _{{\color {red} 3 \text{ x } 1}}\)
3. Transpose Matriks
Transpose matriks adalah sebuah operasi matriks dengan mengubah komponen baris dalam suatu matriks menjadi komponen kolom, atau sebaliknya komponen kolom menjadi baris. Transpose matriks dari A disimbolkan dengan AT
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \rightarrow A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)
4.. Kesamaan Dua Matriks
Dua buah matriks dinyatakan sama apabila:
-
- Ordo kedua matriks sama
- Komponen dalam matriks yang bersesuaian sama
\( \begin{pmatrix} {\color {blue} x} & 2 \\ 5 & {\color {red} 7} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color {blue} 6} & 2 \\ 5 & {\color {red} y} \end{pmatrix}\)
\begin{equation*} \begin{split} & x = 6 \\ & y = 7 \end{split} \end{equation*}
5. Penjumlahan matriks
Matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan bila memiliki ordo yang sama.
Dua buah matriks dapat dijumlahkan dan dikurangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan komponen-komponen yang bersesuaian.
Contoh:
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 8 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 9 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{split} A + B & = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \\\\ A + B & = \begin{pmatrix} 4 + 3 & 2 + 6 \\ 1 + 5 & 8 - 3 \end{pmatrix} \\\\ A + B & = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{split} B - C & = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\\\ B - C & = \begin{pmatrix} 3 - 9 & 6 - (-4) \\ 5 - 2 & -3 - 1 \end{pmatrix} \\\\ B - C & = \begin{pmatrix} - 6 & 10 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}
6. Perkalian Skalar dan Matriks
Skalar dikalikan suatu matriks dilakukan dengan cara mengalikan skalar tersebut dengan komponen-komponen dalam matriks.
Contoh:
\begin{equation*} \begin{split} A & = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \\ \\ 2A & = 2 \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 6 & 2 \times -2 \\ 2 \times 3 & 2 \times 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -4 \\ 6 & 10 \end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}
7. Perkalian Matriks dan Matriks
Dua buah matriks \(A\) dan \(B\) dapat dikalikan menjadi \(A \times B = C\) dengan syarat:
-
- Jumlah kolom pada matriks \(A\) = jumlah baris pada matriks \(B\)
- Hasil perkalian matriks \(A \times B\) adalah matriks \(C\) dengan ordo jumlah baris matriks \(A\) × jumlah kolom matriks \(B\)
\(A_{{\color {blue} m} \text{ x } n} \times B_{n \text{ x } {\color {red} p}} = C_{{\color {blue} m} \text{ x } {\color {red} p}}\)
Contoh 1
\begin{equation*} \begin{split} A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} _{{\color {red}2} \times 2} \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ \end{pmatrix} _{2 \times {\color {red}1}} \\ \end{split} \end{equation*}
Hasil perkalian matriks A × B adalah matriks dengan ordo 2 × 1
\begin{equation*} \begin{split} A \times B & = \begin{pmatrix} {\color{blue} 1} & {\color{blue} 5} \\ {\color{brown} 3} & {\color{brown} 2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\color{red} 4}\\ {\color{red} 6} \\ \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} ({\color{blue} 1} \times {\color{red} 4}) + ({\color{blue} 5} \times {\color{red} 6}) \\ ({\color{brown} 3} \times {\color{red} 4}) + ({\color{brown} 2} \times {\color{red} 6}) \\ \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} {\color{blue} 34} \\ {\color{brown} 24} \end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}
Contoh 2
\begin{equation*} \begin{split} A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ \end{pmatrix} _{{\color {red}1} \times 2} \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 8 & 5 \\ \end{pmatrix} _{2 \times {\color {red}2}} \\ \end{split} \end{equation*}
Hasil perkalian matriks A × B adalah matriks dengan ordo 1 × 2
\begin{equation*} \begin{split} A \times B & = \begin{pmatrix} {\color{red} 4} & {\color{red} 2} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\color{blue} 3} & {\color{brown} 6} \\ {\color{blue} 8} & {\color{brown} 5} \\ \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} ({\color{red} 4} \times {\color{blue}3}) + ({\color{red} 2} \times {\color{blue} 8}) & ({\color{red} 4} \times {\color{brown}6}) + ({\color{red} 2} \times {\color{brown} 5}) \\ \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} {\color{blue}28} & {\color{brown} 34} \\ \end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}
Contoh 3
\begin{equation*} \begin{split} A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 9 \end{pmatrix} _{{\color {red}2} \times 2} \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} _{2 \times {\color {red}2}} \\ \end{split} \end{equation*}
Hasil perkalian matriks A × B adalah matriks dengan ordo 2 × 2
\begin{equation*} \begin{split} A \times B & = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} (2 \times 4) + (7 \times 3) & (2 \times 2) + (7 \times 5) \\ (1 \times 4) + (9 \times 3) & (1 \times 4) + (9 \times 5) \\ \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} 29 & 39 \\ 31 & 49 \end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}
Contoh 4
\begin{equation*} \begin{split} A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 5 \\ 3 & 8 & 2 & 1 \end{pmatrix} _{{\color {red}2} \times 4} \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 1\\ 5 & 9 & 4 \\ 2 & 7 & 2 \\ 1 & 4 & 6 \end{pmatrix} _{4 \times {\color {red}3}} \\ \end{split} \end{equation*}
Hasil perkalian matriks A × B adalah matriks dengan ordo 2 × 3
\begin{equation*} \begin{split} A \times B & = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 5 \\ 3 & 8 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 6 & 1\\ 5 & 9 & 4 \\ 2 & 7 & 2 \\ 1 & 4 & 6 \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} (4 \times 3) + (2 \times 5) + (1 \times 2) + (5\times 1) & (4 \times 6) + (2 \times 9) + (1 \times 7) + (5 \times 4) & (4 \times 1) + (2 \times 4) + (1 \times 2) + (5 \times 6) \\ (3 \times 3) + (8 \times 5) + (2 \times 2) + (1\times 1) & (3 \times 6) + (8 \times 9) + (2 \times 7) + (1 \times 4) & (3 \times 1) + (8 \times 4) + (2 \times 2) + (1 \times 6) \\ \end{pmatrix} \\\\ A \times B & = \begin{pmatrix} 29 & 69 & 44 \\ 54 & 108 & 45 \\ \end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}
B. DETERMINAN MATRIKS
Sebuah matriks memiliki nilai determinan bila matriks tersebut merupakan matriks persegi (memiliki jumlah baris dan kolom yang sama).
1. Determinan Matriks 2 × 2
Jika matriks A adalah \(A =\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}\), maka determinan dari matriks A adalah \(|A| =\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix}= ad - bc\)
2. Determinan Matriks 3 × 3
Jika matriks A adalah \(A =\begin{pmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \\\end{pmatrix}\)
maka determinan dari matriks A adalah:
\begin{equation*} \begin{split} |A| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{vmatrix} = a \: \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b \: \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c \: \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \end{split} \end{equation*}
3. Matriks Singular
Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya sama dengan nol.
Matriks singular tidak memiliki invers.
4. Sifat-sifat Determinan Matriks
(1) \(|A| = |A^T|\) dimana \(A^T\) adalah transpose dari matriks A
(2) \(|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|}\) dimana \(A^{-1}\) adalah inverse dari matriks A
(3) \(|k A| = k^n \:.\:|A|\) dimana k adalah konstanta dan n adalah jumlah baris atau kolom dari matriks A
(4) \(|A B| = |A| \:.\: |B|\)
(5) \(|A^n| = |A|^n\)
5. Efek Operasi Baris Elementer pada Determinan
Operasi baris elementer pada suatu matriks akan mengubah nilai determinan dari matriks tersebut dengan cara:
| Tindakan | Perubahan Pada Nilai Determinan |
| Menukar salah satu baris dengan baris lainnya | Determinan dikali −1 |
| Mengalikan salah satu baris dengan konstanta k | Determinan dikali k |
| Menambah/mengurangi salah satu baris dengan baris lainnya | Tidak ada perubahan |
C. INVERS MATRIKS
1. Invers Matriks 2 × 2
Jika matriks \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) maka invers matriks A adalah \(A^{-1} = \dfrac{1}{det \: A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
Contoh:
Tentukan invers dari matriks \(A = \begin{pmatrix}3 & 5 \\2 & 4\end{pmatrix}\)
Jawab:
(1) Menentukan determinan matriks:
\(|A| = \begin{vmatrix}3 & 5 \\2 & 4\end{vmatrix} = 3 \:.\: 4 - 5 \:.\: 2 = 2\)
(2) Menentukan invers matriks:
\(A^{-1} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}4 & -5 \\-2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -2.5 \\-1 & 1.5\end{pmatrix}\)
2. Invers Matriks 3 × 3 (metode kofaktor)
\(A^{-1} = \dfrac{1}{det \: A} \: adj \: (A) \)
\(adj \: (A) = [kof \: (A)]^T\)
Menentukan Kofaktor
\(kof \: (A) = \begin{pmatrix} M_{11} & {\color {red} -}M_{12} & M_{13} \\ {\color {red} -}M_{21} & M_{22} & {\color {red} -}M_{23} \\ M_{31} & {\color {red} -}M_{32} & M_{33} \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} {\colorbox {cyan} a} & b & c \\d & {\color {red} e} & {\color {red} f} \\g & {\color {red} h} & {\color {red} i}\end{pmatrix} \rightarrow M_{11} = \begin{vmatrix} {\color {red} e} & {\color {red}f }\\ {\color {red}h} & {\color {red}i} \end{vmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} a & {\colorbox {cyan} b} & c \\{\color {red} d} & e & {\color {red} f} \\{\color {red} g} & h & {\color {red} i}\end{pmatrix} \rightarrow M_{12} = \begin{vmatrix} {\color {red}d} & {\color {red}f} \\{\color {red} g} & {\color {red}i} \end{vmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} a & b & {\colorbox {cyan} c} \\{\color {red} d} & {\color {red} e} & f \\{\color {red} g} & {\color {red} h} & i\end{pmatrix} \rightarrow M_{13} = \begin{vmatrix} {\color {red}d} & {\color {red}e} \\ {\color {red}g} & {\color {red}h} \end{vmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} a & {\color {red} b} & {\color {red} c} \\{\colorbox {cyan} d} & e & f \\g & {\color {red} h} & {\color {red} i}\end{pmatrix} \rightarrow M_{21} = \begin{vmatrix} {\color {red} b} & {\color {red}c }\\ {\color {red}h} & {\color {red}i} \end{vmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} {\color {red} a} & b & {\color {red} c} \\d & {\colorbox {cyan} e} & f \\{\color {red} g} & h & {\color {red} i}\end{pmatrix} \rightarrow M_{22} = \begin{vmatrix} {\color {red}a} & {\color {red}c} \\{\color {red} g} & {\color {red}i} \end{vmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} {\color {red} a} & {\color {red} b} & c \\d & e & {\colorbox {cyan} f} \\{\color {red} g} & {\color {red} h} & i\end{pmatrix} \rightarrow M_{23} = \begin{vmatrix} {\color {red}a} & {\color {red}b} \\ {\color {red}g} & {\color {red}h} \end{vmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} a & {\color {red} b} & {\color {red} c} \\d & {\color {red} e} & {\color {red} f} \\{\colorbox {cyan} g} & h & i\end{pmatrix} \rightarrow M_{31} = \begin{vmatrix} {\color {red} b} & {\color {red}c }\\ {\color {red}e} & {\color {red}f} \end{vmatrix}\)
\( \begin{pmatrix} {\color {red} a} & b & {\color {red} c} \\{\color {red} d} & e & {\color {red} f} \\g & {\colorbox {cyan} h} & i\end{pmatrix} \rightarrow M_{32} = \begin{vmatrix} {\color {red}a} & {\color {red}c} \\{\color {red} d} & {\color {red}f} \end{vmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} {\color {red} a} & {\color {red} b} & c \\{\color {red} d} & {\color {red} e} & f \\g & h & {\colorbox {cyan} i}\end{pmatrix} \rightarrow M_{33} = \begin{vmatrix} {\color {red}a} & {\color {red}b} \\ {\color {red}d} & {\color {red}e} \end{vmatrix}\)
Contoh:
Tentukan invers dari matriks \(A = \begin{pmatrix}0 & -3 & -2 \\1 & -4 & -2 \\ -3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)
Jawab:
(1) Menentukan determinan (A)
\(|A| = 0 \: \begin{vmatrix} -4 & -2 \\4 & 1\end{vmatrix}- (-3) \:\begin{vmatrix}1 & -2 \\-3 & 1\end{vmatrix}+ (-2) \:\begin{vmatrix}1 & -4 \\-3 & 4\end{vmatrix}\)
\(|A| = 0 + 3 (1 - 6) - 2 (4 - 12)\)
\(|A| = 1\)
(2) Menentukan kofaktor (A)
\(kof \: (A) = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -4 & -2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} &{\color {red} -}\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} \\ {\color {red} -}\begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} & {\color {red} -}\begin{vmatrix} 0 & -3 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ -4 & -2 \end{vmatrix} & {\color {red} -}\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & -8 \\ -5 & -6 & 9 \\ -2 & -2 & 3 \\ \end{pmatrix} \)
(3) Menentukan Adjoin (A)
\(Adj \: (A) = [kof \: (A)]^T = \begin{pmatrix} 4 & -5 & -2 \\ 5 & -6 & -2 \\ -8 & 9 & 3 \\ \end{pmatrix} \)
(4) Menentukan \(A^{-1}\)
\(A^{-1} = \dfrac{1}{det \: A} \: Adj \: (A) = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 4 & -5 & -2 \\ 5 & -6 & -2 \\ -8 & 9 & 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -5 & -2 \\ 5 & -6 & -2 \\ -8 & 9 & 3 \\ \end{pmatrix} \)
C. Sifat-sifat Invers Matriks
-
- \(A \:.\: A^{-1} = A^{-1} \:.\: A = I\)
- \((A \:.\: B)^{-1} = B^{-1} \:.\: A^{-1}\)
D. METODE CRAMER
Metode Cramer digunakan menyelesaikan sistem persamaan linear
\begin{equation*} \begin{split} ax + by & = p\\ cx + dy & = q\\ \end{split} \end{equation*}
Sistem persamaan dapat ditulis sebagai:
\(\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color {blue} p} \\ {\color {blue} q} \end{pmatrix}\)
Nilai x dan y dapat ditentukan dengan:
\(x = \dfrac {D_x}{D} = \dfrac{\begin{vmatrix} {\color {blue} p} & b \\ {\color {blue} q} & d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix}} \quad \quad y = \dfrac {D_y}{D} = \dfrac{\begin{vmatrix}a & {\color {blue} p} \\c & {\color {blue} q} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix}} \)
Contoh
\(3x + 2y = 4\)
\(2x - y = 5\)
\(x = \dfrac {D_x}{D} = \dfrac{\begin{vmatrix} {\color {blue} 4} & 2 \\ {\color {blue} 5} & -1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}} = \dfrac {-4 - 10}{-3 - 4} = \dfrac {-14}{-7} = 2\)
\(y = \dfrac {D_y}{D} = \dfrac{\begin{vmatrix}3 & {\color {blue} 4} \\ 2 & {\color {blue} 5}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}} = \dfrac {15 - 8}{-3 - 4} = \dfrac {7}{-7} = -1\)
E. OPERASI ELEMENTER
1. Operasi Baris Elementer
-
- Baris pada matriks dapat dipertukarkan
\(\begin{pmatrix} {\color{red}1} & {\color{red}2} & {\color{red}3} \\ {\color{blue}4} & {\color{blue}5} & {\color{blue}6} \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} {\color{blue}4} & {\color{blue}5} & {\color{blue}6} \\ {\color{red}1} & {\color{red}2} & {\color{red}3} \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix}\)
-
- Baris pada matriks dapat dikali dengan konstanta bukan nol
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ {\color{red}7} & {\color{red}8} & {\color{red}9} \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ {\color{red}14} & {\color{red}16} & {\color{red}18}\\ \end{pmatrix}\)
Baris ketiga dikali 2 \((2 \times R_3)\)
-
- Baris pada matriks dapat dijumlah/dikurangi dengan baris lainnya
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} {\color{red}-7} & {\color{red}-8} & {\color{red}-9} \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix}\)
Baris pertama dikurangi oleh dua kali baris kedua \((R_1 - 2R_2)\)
2. Efek Operasi Baris Elementer pada Determinan
Operasi baris elementer pada suatu matriks akan mengubah nilai determinan dari matriks tersebut dengan cara:
| Tindakan | Perubahan Pada Nilai Determinan |
| Menukar salah satu baris dengan baris lainnya | Determinan dikali −1 |
| Mengalikan salah satu baris dengan konstanta k | Determinan dikali k |
| Menambah/mengurangi salah satu baris dengan baris lainnya | Tidak ada perubahan |
3. Operasi Baris Elementer Untuk Menentukan Invers Matriks (Eliminasi Gauss-Jordan)
\(\text{Menentukan invers matriks }\begin{pmatrix}0 & -3 & -2 \\1 & -4 & -2 \\-3 & 4 & 1 \\ \end{pmatrix} \text{ dengan metode eliminasi Gauss-Jordan}\)
Akan dilakukan operasi baris elementer untuk mengubah matriks seperti di bawah ini:
\(\begin{pmatrix} 0 & -3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 4 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \xrightarrow {\text{operasi baris elementer}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & ? & ? & ? \\ 0 & 1 & 0 & | & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & | & ? & ? & ? \\ \end{pmatrix}\)
Eliminasi Gauss-Jordan
\(\begin{pmatrix} 0 & -3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 4 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{R_1 \text{ ditukar dengan }R_2} \begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 4 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 4 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{R_3 + 3R_1} \begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -5 & | & 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -5 & | & 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{-\frac{1}{3}R_2} \begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -5 & | & 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -5 & | & 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow[R_1 + 4R_2]{R_3 + 8 R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{2}{3} & | & -\frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & | & -\frac{8}{3} & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{2}{3} & | & -\frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & | & -\frac{8}{3} & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{3R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{2}{3} & | & -\frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -8 & 9 & 3 \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{2}{3} & | & -\frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -8 & 9 & 3 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow[R_1 - \frac{2}{3}R_3]{R_2 - \frac{2}{3}R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 4 & -5 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 5 & -6 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -8 & 9 & 3 \\ \end{pmatrix}\)
Invers matriks adalah \(\begin{pmatrix} 4 & -5 & -2 \\ 5 & -6 & -2 \\ -8 & 9 & 3 \end{pmatrix}\)
4. Operasi Baris Elementer Untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan (Eliminasi Gauss-Jordan)
Selesaikan sistem persamaan di bawah ini:
\begin{equation*} \begin{split} 7x + 2y + z & = 21\\ 3y - z & = 5\\ -3x + 4y -2z & = -1 \end{split} \end{equation*}
Akan dilakukan operasi baris elementer untuk mengubah matriks seperti di bawah ini:
\(\begin{pmatrix} 7 & 2 & 1 & | & 21 \\ 0 & 3 & -1 & | & 5 \\ -3 & 4 & -2 & | & -1 \\ \end{pmatrix} \xrightarrow {\text{operasi baris elementer}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & ? \\ 0 & 1 & 0 & | & ? \\ 0 & 0 & 1 & | & ? \\ \end{pmatrix}\)
Operasi baris elementer
\(\begin{pmatrix} 7 & 2 & 1 & | & 21 \\ 0 & 3 & -1 & | & 5 \\ -3 & 4 & -2 & | & -1 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{\frac{1}{7} R_1} \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{7} & \frac{2}{7} & | & 3 \\ 0 & 3 & -1 & | & 5 \\ -3 & 4 & -2 & | & -1 \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{7} & \frac{1}{7} & | & 3 \\ 0 & 3 & -1 & | & 5 \\ -3 & 4 & -2 & | & -1 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{R_3 + 3R_1} \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{7} & \frac{1}{7} & | & 3 \\ 0 & 3 & -1 & | & 5 \\ 0 & \frac{34}{7} & -\frac{11}{7} & | & 8 \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{7} & \frac{1}{7} & | & 3 \\ 0 & 3 & -1 & | & 5 \\ 0 & \frac{34}{7} & -\frac{11}{7} & | & 8 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{\frac{1}{3}R_2} \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{7} & \frac{1}{7} & | & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & \frac{5}{3} \\ 0 & \frac{34}{7} & -\frac{11}{7} & | & 8 \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{7} & \frac{1}{7} & | & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & \frac{5}{3} \\ 0 & \frac{34}{7} & -\frac{11}{7} & | & 8 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow[R_3 - \frac{34}{7}R_2]{R_1 - \frac{2}{7} R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{21} & | & \frac{53}{21} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & \frac{1}{21} & | & -\frac{2}{21} \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{21} & | & \frac{53}{21} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & \frac{1}{21} & | & -\frac{2}{21} \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow{21R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{21} & | & \frac{53}{21} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{21} & | & \frac{53}{21} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 \\ \end{pmatrix} \\ \xrightarrow[R_2 + \frac{1}{3}R_3]{R_1 - \frac{5}{21}R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 \\ \end{pmatrix}\)
\(x = 3, y = 1, z = -2\)