A. METODE PEMBAGIAN
Jika sebuah polinomial F(x) dibagi oleh p(x), akan memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S(x), maka polinomial tersebut dapat ditulis:
\(F(x) = p(x) \:.\: H(x) + S(x)\)
Analogi:
Jika 9 dibagi 2, hasil baginya adalah 4 dan memiliki sisa 1, maka dapat dituliskan sebagai:
\(9 = 2 \:.\: 4 + 1\)
A. Pembagian Biasa
Ada beberapa cara melakukan pembagian pada polinomial (suku banyak). Salah satu caranya adalah dengan cara pembagian bersusun ke bawah, seperti contoh di bawah ini.
Contoh
Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian \(2x^3 + 5x^2 - 6x + 3\) oleh \(x + 2\)
\begin{array}{r} \bbox[5px, border: 2px solid red] {2x^2 + x - 8}\\ x + 2\enclose{longdiv}{2x^3 + 5x^2 - 6x + 3}\\ \underline{2x^3 + 4x^2}\hspace{4em}\\ x^2 - 6x + 3\hspace{.33em}\\ \underline{x^2 + 2x}\hspace{2em}\\ -8x + 3\hspace{.33em}\\ \underline{-8x - 16}\\ \bbox[5px, border: 2px solid blue] {19} \end{array}
Hasil bagi: \({\color {red} 2x^2 + x - 8}\)
Sisa: \({\color {blue} 19}\)
Bentuk polinomial:
\(2x^3 + 5x^2 - 6x + 3 = (x + 2) \:.\: (2x^2 + x - 8) + 19\)
B. Metode Horner
Metode Horner merupakan salah satu cara untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari sebuah polinomial (suku banyak), disamping cara pembagian bersusun.
Contoh 01
Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian \(2x^3 + 5x^2 - 6x + 3\) oleh \((x + 2)\)
Pembagi \((x + 2)\) maka \(x = -2\)
\begin{array}{c|rrrr} & 2 & 5 & -6 & 3\\ -2 & & -4 & -2 & 16\\ \hline\\ & {\color {red} 2} & {\color {red} 1} & {\color {red} -8} & \bbox[5px, border: 2px solid blue]{19} \end{array}
Hasil bagi: \({\color {red} 2x^2 + x - 8}\)
Sisa: \({\color {blue} 19}\)
Bentuk polinomial:
\(2x^3 + 5x^2 - 6x + 3 = (x + 2) \:.\: (2x^2 + x - 8) + 19\)
Contoh 02
Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian \(2x^4 - 3x^2 - 5\) oleh \((x - 3)\)
Pembagi \((x - 3)\) maka \(x = 3\)
Dalam tabel Horner, bentuk \(2x^4 - 3x^2 - 5\) ditulis lengkap menjadi \(2x^4 + 0 x^3 - 3x^2 + 0 x - 5\)
\begin{array}{c|rrrrr} & 2 & 0 & -3 & 0 & -5\\ 3 & & 6 & 18 & 45 & 135\\ \hline\\ & {\color {red} 2} & {\color {red} 6} & {\color {red} 15} & {\color {red} 45} & \bbox[5px, border: 2px solid blue]{130} \end{array}
Hasil bagi: \({\color {red} 2x^3 + 6x^2 + 15x + 45}\)
Sisa: \({\color {blue} 130}\)
Bentuk polinomial:
\(2x^4 - 3x^2 - 5 = (x - 3) \:.\: (2x^3 + 6x^2 + 15x + 45) + 130\)
Contoh 03
Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian \(4x^3 - 6x^2 + 8x + 1\) oleh \((2x - 1)\)
Pembagi \((2x - 1)\) maka \(x = \frac 12\)
\begin{array}{c|rrrr} & 4 & -6 & 8 & 1\\ \frac 12 & & 2 & -2 & 3\\ \hline\\ & {\color {red} 4} & {\color {red} -4} & {\color {red} 6} & \bbox[5px, border: 2px solid blue]{4} \end{array}
Hasil bagi:
Karena pembagi \(({\color {brown} 2x} - 1)\) maka hasil bagi:
\(\dfrac {{\color {red} 4x^2 - 4x + 6}}{{\color {brown} 2}} = 2x^2 - 2x + 3\)
Sisa: \({\color {blue} 4}\)
Bentuk polinomial:
\(4x^3 - 6x^2 + 8x + 1 = (2x + 1) \:.\: (2x^2 - 2x + 3) + 4\)
B. TEOREMA SISA DAN FAKTOR
TEOREMA SISA
Jika suatu polinomial \(F(x)\) dibagi oleh \((x - a)\) akan memiliki sisa \(F(a)\)
Contoh
Tentukan sisa pembagian \(F(x) = x^3 + 4x^2 - 6x + 1\) oleh \((x - 2)\)
Sisa pembagian \(F(x)\) oleh \((x - 2)\) adalah \(F(2)\)
\(F(x) = x^3 + 4x^2 - 6x + 1\)
\(F(2) = 2^3 + 4 \:.\: 2^2 - 6 \:.\: 2 + 1\)
\(F(2) = 13\)
Bentuk polinomial:
\(F(x) = (x - 2) \:.\: H(x) + S\)
\(x^3 + 4x^2 - 6x + 1 = (x - 2) \:.\: H(x) + 13\)
dimana \(H(x)\) adalah hasil bagi.
Teorema sisa digunakan hanya untuk menentukan sisa pembagian \(S\) dan tidak dapat digunakan untuk menentukan hasil bagi \(H(x)\). Hasil bagi dapat ditentukan dengan metode pembagian bersusun atau metode Horner.
TEOREMA FAKTOR
Jika suatu polinomial \(F(x)\) habis dibagi oleh \((x - a)\), maka \(F(a) = 0\)
Jika suatu polinomial \(F(x)\) habis dibagi oleh \((x - a)^2\), maka \(F(a) = 0\) dan \(F'(a) = 0\)
dimana \(F'(x)\) adalah turunan pertama dari \(F(x)\)
Contoh
Buktikan \((x + 3)\) merupakan faktor dari \(F(x) = x^3 - x^2 - 10x + 6\)
\(F(-3) = (-3)^3 - (-3)^2 - 10(-3) + 6 = 0\)
Karena \(F(-3) = 0\) maka \((x + 3)\) merupakan faktor dari \(F(x) = x^3 - x^2 - 10x + 6\)
Bentuk polinomial:
\(x^3 - x^2 - 10x + 6 = (x + 3) \:.\: (x^2 - 4x + 2)\)
C. HUBUNGAN AKAR-AKAR
Hubungan Akar-akar Polinomial Derajat 3
Jika polinomial \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) memiliki akar-akar \(x_1\), \(x_2\) dan \(x_3\), maka:
\(x_1 + x_2 + x_3 = - \dfrac ba\)
\(x_1 \:.\: x_2 + x_1 \:.\: x_3 + x_2 \:.\: x_3 = \dfrac ca\)
\(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 = - \dfrac da\)
Perhatikan tanda (−) selang-seling
a = (+), b = (−), c = (+), d = (−)
Contoh 01
Diketahui persamaan \(x^3 + 5x^2 + 8x - 4 = 0\) memiliki akar-akar \(x_1\), \(x_2\) dan \(x_3\).
Tentukan:
(A) \(x_1 + x_2 + x_3\)
(B) \(x_1 \:.\: x_2 + x_1 \:.\: x_3 + x_2 \:.\: x_3\)
(C) \(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3\)
\(x^3 + 5x^2 + 8x - 4 = 0\)
\(a = 1, b = 5, c = 8, d = -4\)
\(x_1 + x_2 + x_3 = - \dfrac ba\)
\(x_1 + x_2 + x_3 = - \dfrac 51\)
\(x_1 + x_2 + x_3 = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {- 5}\)
\(x_1 \:.\: x_2 + x_1 \:.\: x_3 + x_2 \:.\: x_3 = \dfrac ca\)
\(x_1 \:.\: x_2 + x_1 \:.\: x_3 + x_2 \:.\: x_3 = \dfrac 81\)
\(x_1 \:.\: x_2 + x_1 \:.\: x_3 + x_2 \:.\: x_3 = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {8}\)
\(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 = - \dfrac da\)
\(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 = - \dfrac {-4}{1}\)
\(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {4}\)
Hubungan Akar-akar Derajat 4
Jika polinomial \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\) memiliki akar-akar \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) dan \(x_4\), maka:
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - \dfrac ba\)
\(x_1 \:.\: x_2 + x_1 \:.\: x_3 + x_1 \:.\: x_4 + x_2 \:.\: x_3 + x_2 \:.\: x_4 + x_3 \:.\: x_4 = \dfrac ca\)
\(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 + x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_4 + x_2 \:.\: x_3 \:.\: x_4 = - \dfrac da\)
\(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 \:.\: x_4 = \dfrac ea\)
Perhatikan tanda (−) selang-seling
a = (+), b = (−), c = (+), d = (−), e = (+)
Contoh 02
Diketahui persamaan \(x^4 - 2x^3 - 6x^2 - 7x - 9 = 0\) memiliki akar-akar \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) dan \(x_4\).
Tentukan:
(A) \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4\)
(B) \(x_1 \:.\: x_2 + x_1 \:.\: x_3 + x_1 \:.\: x_4 + x_2 \:.\: x_3 + x_2 \:.\: x_4 + x_3 \:.\: x_4\)
(C) \(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 + x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_4 + x_2 \:.\: x_3 \:.\: x_4\)
(D) \(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 \:.\: x_4 \)
\(x^4 - 2x^3 - 6x^2 - 7x - 9 = 0\)
\(a = 1, b = -2, c = -6, d = -7, e = -9\)
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - \dfrac ba\)
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - \dfrac {-2}{1}\)
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {2}\)
\(x_1 \:.\: x_2 + x_1 \:.\: x_3 + x_1 \:.\: x_4 + x_2 \:.\: x_3 + x_2 \:.\: x_4 + x_3 \:.\: x_4 = \dfrac ca\)
\(x_1 \:.\: x_2 + x_1 \:.\: x_3 + x_1 \:.\: x_4 + x_2 \:.\: x_3 + x_2 \:.\: x_4 + x_3 \:.\: x_4 = \dfrac {-6}{1}\)
\(x_1 \:.\: x_2 + x_1 \:.\: x_3 + x_1 \:.\: x_4 + x_2 \:.\: x_3 + x_2 \:.\: x_4 + x_3 \:.\: x_4 = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {-6}\)
\(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 + x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_4 + x_2 \:.\: x_3 \:.\: x_4 = - \dfrac da\)
\(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 + x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_4 + x_2 \:.\: x_3 \:.\: x_4 = - \dfrac {-7}{1}\)
\(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 + x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_4 + x_2 \:.\: x_3 \:.\: x_4 = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {7}\)
\(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 \:.\: x_4 = \dfrac ea\)
\(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 \:.\: x_4 = \dfrac {-9}{1}\)
\(x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 \:.\: x_4 = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {-9}\)
D. MEMBENTUK PERSAMAAN
Jika sebuah polinomial memiliki akar-akar \(\alpha\), \(\beta\) dan \(\gamma\), polinomial tersebut adalah:
(1) \((x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = 0\)
Cara ini digunakan bila diketahui nilai \(\alpha, \beta\) dan \(\gamma\)
(2) \(x^3 - (\alpha + \beta + \gamma) \:.\: x^2 + (\alpha \:.\: \beta + \alpha \:.\: \gamma + \beta \:.\: \gamma) \:.\: x - (\alpha \:.\: \beta \:.\: \gamma) = 0\)
Cara ini digunakan bila diketahui hubungan akar-akar
Contoh
Tentukan persamaan polinomial yang akar-akarnya −4, 3 dan 5.
cara (1)
\begin{equation*} \begin{split} & (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = 0 \\\\ & (x + 4)(x - 3)(x - 5) = 0 \\\\ & (x^2 + x - 12)(x - 5) = 0 \\\\ & x^3 - 4x^2 - 17x + 60 = 0 \end{split} \end{equation*}
Cara (2)
\(\alpha + \beta + \gamma\)
\(-4 + 3 + 5\)
\(4\)
\(\alpha \:.\: \beta + \alpha \:.\: \gamma + \beta \:.\: \gamma\)
\(-4 \:.\: 3 + -4 \:.\: 5 + 3 \:.\: 5\)
\(- 17\)
\(\alpha \:.\: \beta \:.\: \gamma\)
\(-4 \:.\: 3 \:.\: 5\)
\(- 60\)
Persamaan baru:
\begin{equation*} \begin{split} & x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha \:.\: \beta + \alpha \:.\: \gamma + \beta \:.\: \gamma)x - (\alpha \:.\: \beta \:.\: \gamma) = 0 \\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {x^3 - 4x^2 - 17x + 60 = 0} \end{split} \end{equation*}