A. METODE PEMBAGIAN
Jika sebuah polinomial \(F(x)\) dibagi oleh \(p(x)\) memberikan hasil bagi \(H(x)\) dan sisa \(S(x)\), maka:
\(F(x) = p(x) \:.\: H(x) + S(x)\)
Analogi yang sama, jika 9 dibagi 2, hasil baginya adalah 4 dan memiliki sisa 1, maka dapat dituliskan sebagai:
\(9 = 2 \:.\: 4 + 1\)
1. Pembagian Bersusun
Ada beberapa cara melakukan pembagian pada polinomial (suku banyak). Salah satu caranya adalah dengan cara pembagian bersusun ke bawah, seperti contoh di bawah ini.
Contoh
Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian \(2x^3 + 5x^2 - 6x + 3\) oleh \(x + 2\)
\begin{array}{r} \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {2x^2 + x - 8}\\ x + 2\enclose{longdiv}{2x^3 + 5x^2 - 6x + 3}\\ \underline{2x^3 + 4x^2}\hspace{4em}\\ x^2 - 6x + 3\hspace{.33em}\\ \underline{x^2 + 2x}\hspace{2em}\\ -8x + 3\hspace{.33em}\\ \underline{-8x - 16}\\ \bbox[5px, border: 2px solid blue] {19} \end{array}
Hasil bagi: \({\color {magenta} 2x^2 + x - 8}\)
Sisa: \({\color {blue} 19}\)
Bentuk polinomial:
\(2x^3 + 5x^2 - 6x + 3 = (x + 2) \:.\: (2x^2 + x - 8) + 19\)
2. Metode Horner
Metode Horner merupakan salah satu cara untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari sebuah polinomial (suku banyak).
Contoh 01
Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian \(2x^3 + 5x^2 - 6x + 3\) oleh \((x + 2)\)
Pembagi \((x + 2)\) maka \(x = -2\)
\begin{array}{c|rrrr} & 2 & 5 & -6 & 3\\ -2 & & -4 & -2 & 16\\ \hline\\ & {\color {magenta} 2} & {\color {magenta} 1} & {\color {magenta} -8} & \bbox[5px, border: 2px solid blue]{19} \end{array}
Hasil bagi: \({\color {magenta} 2x^2 + x - 8}\)
Sisa: \({\color {blue} 19}\)
Bentuk polinomial:
\(2x^3 + 5x^2 - 6x + 3 = (x + 2) \:.\: (2x^2 + x - 8) + 19\)
Contoh 02
Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian \(2x^4 - 3x^2 - 5\) oleh \((x - 3)\)
Pembagi \((x - 3)\) maka \(x = 3\)
Dalam tabel Horner, bentuk \(2x^4 - 3x^2 - 5\) ditulis lengkap menjadi \(2x^4 + 0 x^3 - 3x^2 + 0 x - 5\)
\begin{array}{c|rrrrr} & 2 & 0 & -3 & 0 & -5\\ 3 & & 6 & 18 & 45 & 135\\ \hline\\ & {\color {magenta} 2} & {\color {magenta} 6} & {\color {magenta} 15} & {\color {magenta} 45} & \bbox[5px, border: 2px solid blue]{130} \end{array}
Hasil bagi: \({\color {magenta} 2x^3 + 6x^2 + 15x + 45}\)
Sisa: \({\color {blue} 130}\)
Bentuk polinomial:
\(2x^4 - 3x^2 - 5 = (x - 3) \:.\: (2x^3 + 6x^2 + 15x + 45) + 130\)
Contoh 03
Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian \(4x^3 - 6x^2 + 8x + 1\) oleh \((2x - 1)\)
Pembagi \((2x - 1)\) maka \(x = \frac 12\)
\begin{array}{c|rrrr} & 4 & -6 & 8 & 1\\ \frac 12 & & 2 & -2 & 3\\ \hline\\ & {\color {magenta} 4} & {\color {magenta} -4} & {\color {magenta} 6} & \bbox[5px, border: 2px solid blue]{4} \end{array}
Hasil bagi:
Karena pembagi \(({\color {brown} 2x} - 1)\) maka hasil bagi:
\(\dfrac {{\color {magenta} 4x^2 - 4x + 6}}{{\color {brown} 2}} = 2x^2 - 2x + 3\)
Sisa: \({\color {blue} 4}\)
Bentuk polinomial:
\(4x^3 - 6x^2 + 8x + 1 = (2x + 1) \:.\: (2x^2 - 2x + 3) + 4\)
B. TEOREMA SISA DAN FAKTOR
1. TEOREMA SISA
Jika suatu polinomial \(F(x)\) dibagi oleh \((x - a)\) akan memiliki sisa \(F(a)\)
Contoh
Tentukan sisa pembagian \(F(x) = x^3 + 4x^2 - 6x + 1\) oleh \((x - 2)\)
Sisa pembagian \(F(x)\) oleh \((x - 2)\) adalah \(F(2)\)
\(F(x) = x^3 + 4x^2 - 6x + 1\)
\(F(2) = 2^3 + 4 \:.\: 2^2 - 6 \:.\: 2 + 1\)
\(F(2) = 13\)
Bentuk polinomial:
\(F(x) = (x - 2) \:.\: H(x) + S\)
\(x^3 + 4x^2 - 6x + 1 = (x - 2) \:.\: H(x) + 13\)
dimana \(H(x)\) adalah hasil bagi.
2. TEOREMA FAKTOR
Jika suatu polinomial \(F(x)\) habis dibagi oleh \((x - a)\), maka \(F(a) = 0\)
Jika suatu polinomial \(F(x)\) habis dibagi oleh \((x - a)^2\), maka \(F(a) = 0\) dan \(F'(a) = 0\)
dimana \(F'(x)\) adalah turunan pertama dari \(F(x)\)
Contoh
Buktikan \((x + 3)\) merupakan faktor dari \(F(x) = x^3 - x^2 - 10x + 6\)
\(F(-3) = (-3)^3 - (-3)^2 - 10(-3) + 6 = 0\)
Karena \(F(-3) = 0\) maka \((x + 3)\) merupakan faktor dari \(F(x) = x^3 - x^2 - 10x + 6\)
Bentuk polinomial:
\(x^3 - x^2 - 10x + 6 = (x + 3) \:.\: (x^2 - 4x + 2)\)
C. HUBUNGAN AKAR-AKAR
1. Polinomial Derajat 3
Jika polinomial \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) memiliki akar-akar \(x_1\), \(x_2\) dan \(x_3\), maka:
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{x_1 + x_2 + x_3 = - \dfrac ba}\)
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{x_1 \:.\: x_2 + x_1 \:.\: x_3 + x_2 \:.\: x_3 = \dfrac ca}\)
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 = - \dfrac da}\)
Perhatikan tanda (−) selang-seling
a = (+), b = (−), c = (+), d = (−)
2. Polinom Derajat 4
Jika polinomial \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\) memiliki akar-akar \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) dan \(x_4\), maka:
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - \dfrac ba}\)
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{x_1 \:.\: x_2 + x_1 \:.\: x_3 + x_1 \:.\: x_4 + x_2 \:.\: x_3 + x_2 \:.\: x_4 + x_3 \:.\: x_4 = \dfrac ca}\)
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 + x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_4 + x_2 \:.\: x_3 \:.\: x_4 = - \dfrac da}\)
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 \:.\: x_4 = \dfrac ea}\)
Perhatikan tanda (−) selang-seling
a = (+), b = (−), c = (+), d = (−), e = (+)
D. MEMBENTUK PERSAMAAN
Jika sebuah polinomial memiliki akar-akar \(\alpha\), \(\beta\) dan \(\gamma\), polinomial tersebut adalah:
(1) \(\bbox[10px, border: 2px solid red]{(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = 0}\)
Cara ini digunakan bila diketahui nilai \(\alpha, \beta\) dan \(\gamma\)
(2) Substitusi akar
Lihat latihan soal
(3) \(\bbox[10px, border: 2px solid red]{x^3 - (\alpha + \beta + \gamma) \:.\: x^2 + (\alpha \:.\: \beta + \alpha \:.\: \gamma + \beta \:.\: \gamma) \:.\: x - (\alpha \:.\: \beta \:.\: \gamma) = 0}\)
Cara ini digunakan bila diketahui hubungan akar-akar