SOAL 01
Hasil bagi \(2x^3 − 7x^2 + 3x + 5\) oleh \((2x + 3)\) adalah ...
(A) \(x^2 - 5x + 9\)
(B) \(x^2 + 5x + 9\)
(C) \(x^2 + 5x + 18\)
(D) \(2x^2 - 5x + 18\)
(E) \(2x^2 - 10x + 18\)
Pembahasan
Jawaban: A
Metode pembagian bersusun
\begin{array}{r}
\color {red} {x^2 - 5x + 9}\\
2x + 3\enclose{longdiv}{2x^3 − 7x^2 + 3x + 5}\\
\underline{2x^3 + 3x^2}\hspace{4em}\\
-10x^2 + 3x + 5\\
\underline{-10x^2 - 15x}\hspace{1em}\\
18x + 5\\
\underline{18x + 27}\\
\color {blue} {-22}
\end{array}
Hasil bagi \(\color {red} {x^2 - 5x + 9}\) dan sisa \(\color {blue} {-22}\)
Metode Horner
\begin{array}{c|rrrr}
& 2 & -7 & 3 & 5\\
- \frac 32 & & -3 & 15 & -27\\
\hline\\
& \color {red} {2} & \color {red} {-10} & \color {red} {18} & \color {blue} {-22}
\end{array}
Karena pembagi \(({\color {brown} 2}x + 3)\) maka hasil bagi adalah \(\dfrac {\color {red} {2x^2 - 10x + 18}}{{\color {brown} 2}} = x^2 - 5x + 9\) dan sisa \(\color {blue} {-22}\)
SOAL 02
Sisa dari pembagian \(2x^3 − 7x^2 + 3x + 5\) oleh \((2x + 3)\) adalah ...
(A) −30
(B) −25
(C) −22
(D) −18
(E) −15
Pembahasan
Jawaban: C
Metode pembagian bersusun
\begin{array}{r}
\color {red} {x^2 - 5x + 9}\\
2x + 3\enclose{longdiv}{2x^3 − 7x^2 + 3x + 5}\\
\underline{2x^3 + 3x^2}\hspace{4em}\\
-10x^2 + 3x + 5\\
\underline{-10x^2 - 15x}\hspace{1em}\\
18x + 5\\
\underline{18x + 27}\\
\color {blue} {-22}
\end{array}
Hasil bagi \(\color {red} {x^2 - 5x + 9}\) dan sisa \(\color {blue} {-22}\)
Metode Horner
\begin{array}{c|rrrr}
& 2 & -7 & 3 & 5\\
- \frac 32 & & -3 & 15 & -27\\
\hline\\
& \color {red} {2} & \color {red} {-10} & \color {red} {18} & \color {blue} {-22}
\end{array}
Karena pembagi \(({\color {brown} 2}x + 3)\) maka hasil bagi adalah \(\dfrac {\color {red} {2x^2 - 10x + 18}}{{\color {brown} 2}} = x^2 - 5x + 9\) dan sisa \(\color {blue} {-22}\)
SOAL 03
Jika \(x^3 + 5x^2 - 2x + p\) dibagi \((x - 2)\) memberikan sisa 25, nilai \(p\) adalah ...
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Pembahasan
Jawaban: A
Teorema sisa
Jika \(F(x)\) dibagi \((x - 2)\), sisanya adalah \(F(2)\), maka \(F(2) = 25\)
\begin{equation*}
\begin{split}
F(x) & = x^3 + 5x^2 - 2x + p \\\\
F(2) & = (2)^3 + 5 \;.\: (2)^2 - 2 \:.\: (2) + p \\\\
25 & = 8 + 20 - 4 + p \\\\
1 & = p
\end{split}
\end{equation*}
SOAL 04
Jika \(x^3 + 2x^2 + px + q\) dibagi \((x - 1)\) memberikan sisa 1 dan jika dibagi \((x + 2)\) memberikan sisa 7, nilai \(q - p = \dotso\)
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Pembahasan
Jawaban: D
Teorema sisa
Jika \(F(x)\) dibagi \((x - 1)\) sisanya adalah \(F(1)\), maka \(F(1) = 1\)
Jika \(F(x)\) dibagi \((x + 2)\) sisanya adalah \(F(-2)\), maka \(F(-2) = 7\)
\begin{equation*}
\begin{split}
F(x) & = x^3 + 2x^2 + px + q \\\\
F(1) & = (1)^3 + 2 \:.\: (1)^2 + p \:.\: (1) + q \\\\
1 & = 1 + 2 + p + q \\\\
-2 & = p + q \quad \color {red} {\dotso \: (1)}
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
F(x) & = x^3 + 2x^2 + px + q \\\\
F(-2) & = (-2)^3 + 2 \:.\: (-2)^2 + p \:.\: (-2) + q \\\\
7 & = -8 + 8 - 2p + q \\\\
7 & = -2p + q \quad \color {red} {\dotso \: (2)}
\end{split}
\end{equation*}
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
\begin{equation*}
\begin{split}
-2 & = p + q \\\\
7 & = -2p + q \quad (-) \\\\
\hline \\
-9 & = 3p \\\\
-3 & = p
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi \(p = -3\) ke persamaan (1)
\begin{equation*}
\begin{split}
-2 & = p + q \\\\
-2 & = -3 + q \\\\
1 & = q
\end{split}
\end{equation*}
\(q - p = 1 - (-3) = 4\)
SOAL 05
Jika \(x^4 - 3x^2 + ax + b\) dan \(x^3 - ax^2 + bx + 1\) masing-masing dibagi oleh \((x - 2)\), akan memberikan sisa berturut-turut \(5\) dan \(-5\).
Nilai \(a - b = \dotso\)
(A) –5
(B) –1
(C) 1
(D) 5
(E) 10
Pembahasan
Jawaban: D
Teorema sisa
\((x^4 - 3x^2 + ax + b)\) dibagi \((x - 2)\) memiliki sisa \(5\), maka:
\begin{equation*}
\begin{split}
& 2^4 - 3 \:.\: 2^2 + a \:.\: 2 + b = 5 \\\\
& 2a + b = 1 \quad {\color {red} \dotso \: (1)}
\end{split}
\end{equation*}
\((x^3 - ax^2 + bx + 1)\) dibagi \((x - 2)\) memiliki sisa \(-5\), maka:
\begin{equation*}
\begin{split}
& 2^3 - a \:.\: 2^2 + b \:.\: 2 + 1 = −5 \\\\
& -4a + 2b = -14 \\\\
& 2a - b = 7 \quad {\color {red} \dotso \: (2)}
\end{split}
\end{equation*}
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
\begin{equation*}
\begin{split}
2a + b & = 1 \\\\
2a - b & = 7 \quad(+) \\
\hline\\
4a & = 8 \\\\
a & = 2
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi a = 2 ke persamaan (1)
\begin{equation*}
\begin{split}
2a + b & = 1 \\\\
2 \:.\: 2 + b & = 1 \\\\
b & = -3
\end{split}
\end{equation*}
Nilai dari \(a - b = 5\)
SOAL 06
Polinomial \(x^4 + a^2 x^3 - x^2 + ax - 11\) dan \(x^3 + 2x^2 - 6x - a\) dibagi oleh \((x - 1)\) akan memberikan sisa yang sama.
Nilai \(a\) yang mungkin adalah ...
(1) −4
(2) −2
(3) 2
(4) 4
Pembahasan
Jawaban: (1) dan (3)
Teorema sisa
Jika \(F(x)\) dibagi \((x - 1)\), maka sisanya adalah \(F(1)\)
Jika \(G(x)\) dibagi \((x - 1)\), maka sisanya adalah \(G(1)\)
\begin{equation*}
\begin{split}
F(1) & = G(1) \\\\
(1)^4 + a^2 \:.\: (1)^3 - (1)^2 + a \:.\: (1) - 11 & = (1)^3 + 2 \:.\: (1)^2 - 6 \:.\: (1) - a \\\\
1 + a^2 - 1 + a - 11 & = 1 + 2 - 6 - a \\\\
a^2 + 2a - 8 & = 0 \\\\
(a + 4)(a - 2) & = 0 \\\\
a = -4 \text{ atau } a & = 2
\end{split}
\end{equation*}
SOAL 07
\(F(x)\) dibagi oleh \((x + 1)\) memberikan sisa −3 dan jika dibagi oleh \((x - 1)\) memberikan sisa 5.
Jika \(F(x)\) dibagi oleh \((x^2 - 1)\), sisanya adalah ...
(A) \(2x - 1\)
(B) \(2x + 1\)
(C) \(4x - 1\)
(D) \(4x + 1\)
Pembahasan
Jawaban: D
Teorema sisa
\(F(x)\) dibagi oleh \((x + 1)\) memiliki sisa \(-3\) maka \(\color {blue} {F(-1) = -3}\)
\(F(x)\) dibagi oleh \((x - 1)\) memiliki sisa \(5\) maka \(\color {blue} {F(1) = 5}\)
\(F(x)\) dibagi \((x^2 + 3x - 10)\) memiliki sisa \(S\), misalkan \(S = mx + n\)
Bentuk polinomial:
\begin{equation*}
\begin{split}
& F(x) = (x^2 - 1) \:.\: H(x) + S \\\\
& F(x) = (x + 1) \:.\: (x - 1) \:.\: H(x) + mx + n
\end{split}
\end{equation*}
Untuk \(x = -1\)
\begin{equation*}
\begin{split}
& F(x) = (x + 1) \:.\: (x - 1) \:.\: H(x) + mx + n \\\\
& F(-1) = (-1 + 1) \:.\: (-1 - 1) \:.\: H(x) + m(-1) + n \\\\
& F(-1) = {\color {red} 0} \:.\: (-1 - 1) \:.\: H(x) - m + n \\\\
& -3 = -m + n \quad {\color {red} \dotso \: (1)}
\end{split}
\end{equation*}
Untuk \(x = 1\)
\begin{equation*}
\begin{split}
& F(x) = (x + 1) \:.\: (x - 1) \:.\: H(x) + mx + n \\\\
& F(1) = (1 + 1) \:.\: (1 - 1) \:.\: H(x) + m(1) + n \\\\
& F(1) = (1 + 1) \:.\: {\color {red} 0} \:.\: H(x) + m + n \\\\
& 5 = m + n \quad {\color {red} \dotso \: (2)}
\end{split}
\end{equation*}
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
\begin{equation*}
\begin{split}
-m + n & = -3 \\\\
m + n & = 5 \quad(-) \\
\hline\\
-2 m & = -8 \\\\
m & = 4
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi m = 4 ke persamaan (2)
\begin{equation*}
\begin{split}
m + n & = 5 \\\\
4 + n & = 5 \\\\
n & = 1
\end{split}
\end{equation*}
Sisa pembagian: \(S = mx + n = 4x + 1\)
SOAL 08
Jika \(F(x)\) dibagi oleh \((2x - 3)\) memiliki sisa \(-1\) dan Jika dibagi oleh \((x - 2)\) memiliki sisa \(1\).
Sisa dari pembagian \(F(x)\) oleh \((2x^2 - 7x + 6)\) adalah ...
(A) \(4x - 5\)
(B) \(4x + 7\)
(C) \(4x - 7\)
(D) \(7x - 4\)
(E) \(-7x + 4\)
Pembahasan
Jawaban: C
Teorema sisa
\(F(x)\) dibagi oleh \((2x - 3)\) memiliki sisa \(-1\) maka \(\color {blue} {F(\frac 32) = -1}\)
\(F(x)\) dibagi oleh \((x - 2)\) memiliki sisa \(1\) maka \(\color {blue} {F(2) = 1}\)
\(F(x)\) dibagi \((2x^2 - 7x + 6)\) memiliki sisa \(S\), misalkan \(S = mx + n\)
Bentuk polinomial:
\begin{equation*}
\begin{split}
& F(x) = (2x^2 - 7x + 6) \:.\: H(x) + S \\\\
& F(x) = (2x - 3) \:.\: (x - 2) \:.\: H(x) + mx + n
\end{split}
\end{equation*}
Untuk \(x = \tfrac 32\)
\begin{equation*}
\begin{split}
& F(x) = (2x - 3) \:.\: (x - 2) \:.\: H(x) + mx + n \\\\
& F(\tfrac 32) = (2 (\tfrac 32) - 3) \:.\: (\tfrac 32 - 2) \:.\: H(x) + m(\tfrac 32) + n \\\\
& F(\tfrac 32) = {\color {red} 0} \:.\: (\tfrac 32 - 2) \:.\: H(x) + \tfrac 32 m + n \\\\
& -1 = \tfrac 32 m + n \quad {\color {red} \dotso \: (1)}
\end{split}
\end{equation*}
Untuk \(x = 2\)
\begin{equation*}
\begin{split}
& F(x) = (2x - 3) \:.\: (x - 2) \:.\: H(x) + mx + n \\\\
& F(2) = (2(2) - 3) \:.\: (2 - 2) \:.\: H(x) + m(2) + n \\\\
& F(2) = (2(2) - 3) \:.\: {\color {red} 0} \:.\: H(x) + 2m + n \\\\
& 1 = 2m + n \quad {\color {red} \dotso \: (2)}
\end{split}
\end{equation*}
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
\begin{equation*}
\begin{split}
\tfrac 32 m + n & = -1 \\\\
2m + n & = 1 \quad(-) \\
\hline\\
- \tfrac 12 m & = -2 \\\\
m & = 4
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi m = 4 ke persamaan (2)
\begin{equation*}
\begin{split}
2m + n & = 1 \\\\
2 \:.\: 4 + n & = 1 \\\\
n & = -7
\end{split}
\end{equation*}
Sisa pembagian: \(S = mx + n = 4x - 7\)
SOAL 09
Jika \(x^5 - 3x^2 + p\) dibagi oleh \((x + 1)\) tidak memilki sisa, nilai \(p\) adalah ...
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Pembahasan
Jawaban: D
Teorema faktor
Jika \(x^5 - 3x^2 + p\) dibagi oleh \((x + 1)\) tidak memilki sisa, maka \({\color {blue} F(-1) = 0}\)
\begin{equation*}
\begin{split}
F(x) & = x^5 - 3x^2 + p \\\\
F(-1) & = (-1)^5 - 3 \;.\: (-1)^2 + p \\\\
0 & = -1 -3 + p \\\\
4 & = p
\end{split}
\end{equation*}
SOAL 10
Jika \((x - 1)\) dan \((x + 2)\) adalah faktor-faktor dari \(x^4 + 4x^3 + ax^2 - b\), nilai dari \(b^2 - a^2 = \dotso\)
(A) 12
(B) 21
(C) 57
(D) 84
(E) 95
Pembahasan
Jawaban: E
Teorema faktor
Misalkan \(F(x) = x^4 + 4x^3 + ax^2 - b\)
Karena \((x - 1)\) dan \((x + 2)\) adalah faktor-faktor dari \(F(x)\), maka \(\color {blue} {F(1) = 0}\) dan \(\color {blue} {F(-2) = 0}\)
\begin{equation*}
\begin{split}
F(x) & = x^4 + 4x^3 + ax^2 - b \\\\
\color {blue} {F(1)} & = (1)^4 + 4 \:.\: (1)^3 + a \:.\: (1)^2 - b \\\\
\color {blue} {0} & = 1 + 4 + a - b \\\\
-5 & = a - b \quad {\color {red} \dotso \: (1)}
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
F(x) & = x^4 + 4x^3 + ax^2 - b \\\\
\color {blue} {F(-2)} & = (-2)^4 + 4 \:.\: (-2)^3 + a \:.\: (-2)^2 - b \\\\
\color {blue} {0} & = 16 - 32 + 4a - b \\\\
16 & = 4a - b \quad {\color {red} \dotso \: (2)}
\end{split}
\end{equation*}
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
\begin{equation*}
\begin{split}
a - b & = -5 \\\\
4a - b & = 16 \quad(-) \\
\hline\\
- 3a & = -21 \\\\
a & = 7
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi a = 7 ke persamaan (1)
\begin{equation*}
\begin{split}
a - b & = -5 \\\\
7 - b & = -5 \\\\
b & = 12
\end{split}
\end{equation*}
\(b^2 - a^2 = 12^2 - 7^2 = 95\)
SOAL 11
Jika \((x + 2)\) merupakan faktor persekutuan dari \(x^3 - 6x^2 - x + p\) dan \(x^3 + qx^2 + 2x - 8\), nilai dari \(\dfrac pq = \dotso\)
(A) 2
(B) 3
(C) 5
(D) 6
(E) 8
Pembahasan
Jawaban: D
Teorema faktor
Misalkan:
\(F(x) = x^3 - 6x^2 - x + p\)
\(G(x) = x^3 + qx^2 + 2x - 8\)
Karena \((x + 2)\) adalah faktor dari \(F(x)\) dan \(G(x)\), maka \(\color {blue} {F(-2) = 0}\) dan \(\color {blue} {G(-2) = 0}\)
\begin{equation*}
\begin{split}
F(x) & = x^3 - 6x^2 - x + p \\\\
\color {blue} {F(-2)} & = (-2)^3 - 6 \:.\: (-2)^2 - (-2) + p \\\\
\color {blue} {0} & = -8 - 24 + 2 + p \\\\
30 & = p
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
G(x) & = x^3 + qx^2 + 2x - 8 \\\\
\color {blue} {G(-2)} & = (-2)^3 + q \:.\: (-2)^2 + 2 \:.\: (-2) - 8 \\\\
\color {blue} {0} & = -8 + 4q - 4 - 8 \\\\
20 & = 4q \\\\
5 & = q
\end{split}
\end{equation*}
\(\dfrac pq = \dfrac {30}{5} = 6\)
SOAL 12
Jika \(x^2 - 3x + 2\) adalah faktor dari \(2x^3 - 5x^2 + px + q\), nilai \(2p - q = \dotso\)
(A) −2
(B) −1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
Pembahasan
Jawaban: C
Misalkan \(F(x) = 2x^3 - 5x^2 + px + q\)
Bentuk \((x^2 - 3x + 2)\) dapat difaktorkan menjadi \((x - 1)(x - 2)\)
Karena \((x^2 - 3x + 2)\) merupakan faktor dari \(F(x)\), maka \((x - 1)\) dan \((x - 2)\) juga merupakan faktor dari \(F(x)\).
Maka \(\color {blue} {F(1) = 0}\) dan \(\color {blue} {F(2) = 0}\)
\begin{equation*}
\begin{split}
F(x) & = 2x^3 - 5x^2 + px + q \\\\
\color {blue} {F(1)} & = 2 \:.\: (1)^3 - 5 \:.\: (1)^2 + p \:.\: (1) + q \\\\
\color {blue} {0} & = 2 - 5 + p + q \\\\
3 & = p + q \quad {\color {red} \dotso \: (1)}
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
F(x) & = 2x^3 - 5x^2 + px + q \\\\
\color {blue} {F(2)} & = 2 \:.\: (2)^3 - 5 \:.\: (2)^2 + p \:.\: (2) + q \\\\
\color {blue} {0} & = 16 - 20 + 2p + q \\\\
4 & = 2p + q \quad {\color {red} \dotso \: (2)}
\end{split}
\end{equation*}
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
\begin{equation*}
\begin{split}
p + q & = 3 \\\\
2p + q & = 4 \quad(-) \\
\hline\\
-p & = -1 \\\\
p & = 1
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi p = 1 ke persamaan (1)
\begin{equation*}
\begin{split}
p + q & = 3 \\\\
1 + q & = 3 \\\\
q & = 2
\end{split}
\end{equation*}
\(2p - q = 2 \:.\: 1 - 2 = 0\)
SOAL 13
Jika \((x - 4)\) adalah faktor dari \(x^3 + px^2 - 11x + 12\), faktor-faktor yang lain adalah ...
(1) \(x - 3\)
(2) \(x - 1\)
(3) \(x + 1\)
(4) \(x + 3\)
Pembahasan
Jawaban: (2) dan (4)
Misalkan \(F(x) = x^3 + px^2 - 11x + 12\)
Karena \((x - 4)\) adalah faktor dari \(F(x)\) maka \(\color {blue} {F(4) = 0}\)
\begin{equation*}
\begin{split}
F(x) & = x^3 + px^2 - 11x + 12 \\\\
\color {blue} {F(4)} & = (4)^3 + p \;.\: (4)^2 - 11 \:.\: (4) + 12 \\\\
\color {blue} {0} & = 64 + 16p - 44 + 12 \\\\
-32 & = 16p \\\\
-2 & = p
\end{split}
\end{equation*}
Faktorisasi
\begin{equation*}
\begin{split}
F(x) & = x^3 - 2x^2 - 11x + 12 \\\\
F(x) & = (x - 4)(x^2 + 2x - 3) \\\\
F(x) & = (x - 4)(x + 3)(x - 1)
\end{split}
\end{equation*}
SOAL 14
Jika \(4x^3 + px^2 - 11x + q\) habis dibagi \(4x^2 - 4x + 1\), maka nilai \(p - 4q = \dotso\)
(A) −8
(B) −4
(C) 1
(D) 4
(E) 8
Pembahasan
Jawaban: B
Misalkan \(F(x) = 4x^3 + px^2 - 11x + q\)
Bentuk \((4x^2 - 4x + 1)\) dapat difaktorkan menjadi \((2x - 1)^2\)
Karena \((2x - 1)^2\) merupakan faktor dari \(F(x)\), maka \((2x - 1)\) merupakan faktor dari \(F(x)\) dan \(F'(x)\).
Maka \(\color {blue} {F(\frac 12) = 0}\) dan \(\color {blue} {F'(\frac 12) = 0}\)
\begin{equation*}
\begin{split}
F(x) & = 4x^3 + px^2 - 11x + q \\\\
\color {blue} {F(\tfrac 12)} & = 4 \:.\: (\tfrac 12)^3 + p \:.\: (\tfrac 12)^2 - 11 \:.\: (\tfrac 12) + q \\\\
\color {blue} {0} & = \tfrac 12 + \tfrac 14 p - \tfrac {11}{2} + q \\\\
0 & = 2 + p - 22 + 4q \\\\
20 & = p + 4q \quad {\color {red} \dotso \: (1)}
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
F(x) & = 4x^3 + px^2 - 11x + q \\\\
F'(x) & = 12x^2 + 2px - 11 \\\\
\color {blue} {F'(\tfrac 12)} & = 12 \:.\: (\tfrac 12)^2 + 2p \:.\: (\tfrac 12) - 11 \\\\
\color {blue} {0} & = 3 + p - 11 \\\\
& 8 = p \quad {\color {red} \dotso \: (2)}
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi p = 8 ke persamaan (1)
\begin{equation*}
\begin{split}
p + 4q & = 20 \\\\
8 + 4q & = 20 \\\\
q & = 3
\end{split}
\end{equation*}
\(p - 4q = 8 - 4 \:.\: 3 = -4\)
SOAL 15
Persamaan \(4x^3 - ax^2 - 47x + 12 = 0\) mempunyai dua akar yang saling berkebalikan.
Jumlah akar–akar persamaan tersebut adalah ...
(A) \(\dfrac 14\)
(B) \(\dfrac 34\)
(C) \(\dfrac 54\)
(D) \(\dfrac 74\)
(E) \(\dfrac 94\)
Pembahasan
Jawaban: C
Misalkan akar-akar persamaan adalah \(\alpha, \beta\) dan \(\gamma\).
Dua akarnya saling berkebalikan, maka \(\alpha = \dfrac {1}{\beta}\) atau \(\alpha \:.\: \beta = 1\)
\begin{equation*}
\begin{split}
& \alpha \:.\: \beta \:.\: \gamma = - \frac da \\\\
& 1 \:.\: \gamma = - \frac {12}{4} \\\\
& \gamma = -3
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi nilai \(\gamma = -3\) ke persamaan
\begin{equation*}
\begin{split}
& 4x^3 - ax^2 - 47x + 12 = 0 \\\\
& 4 \:.\: (-3)^3 - a \:.\: (-3)^2 - 47 \:.\: (-3) + 12 = 0 \\\\
& -108 - 9a + 141 + 12 = 0 \\\\
& -9a = -45 \\\\
& a = 5
\end{split}
\end{equation*}
Persamaan menjadi \(4x^3 - 5x^2 - 47x + 12 = 0\)
\begin{equation*}
\begin{split}
\alpha + \beta + \gamma & = - \frac ba \\\\
\alpha + \beta + \gamma & = - \frac {-5}{4} \\\\
\alpha + \beta + \gamma & = \frac {5}{4}
\end{split}
\end{equation*}
SOAL 16
Jumlah kuadrat akar-akar persamaan \(2x^3 + 6x^2 - 5x - 3 = 0\) adalah ...
(A) 5
(B) 9
(C) 14
(D) 18
(E) 24
Pembahasan
Jawaban: C
\(2x^3 + 6x^2 - 5x - 3 = 0\)
\(\alpha + \beta + \gamma = -3 \)
\(\alpha \:.\: \beta + \alpha \:.\: \gamma + \beta \:.\: \gamma = - \dfrac 52 \)
\(\alpha \:.\: \beta \:.\: \gamma = \dfrac 32 \)
\begin{equation*}
\begin{split}
& \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 \\\\
& (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2 \:.\: (\alpha \:.\: \beta + \alpha \:.\: \gamma + \beta \:.\: \gamma) \\\\
& (- 3)^2 - 2 \:.\: \left(-\frac {5}{2} \right) \\\\
& 9 + 5 \\\\
& \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {14}
\end{split}
\end{equation*}
SOAL 17
Jika salah satu akar persamaan \(x^3 - 3x^2 - px + 15 = 0\) merupakan rata-rata dari kedua akar yang lain, maka nilai \(p\) adalah ...
(A) 7
(B) 10
(C) 13
(D) 15
(E) 17
Pembahasan
Jawaban: C
Salah satu akar adalah rata-rata dari kedua akar yang lain:
\begin{equation*}
\begin{split}
& \gamma = \dfrac {\alpha + \beta}{2} \\\\
& 2 \gamma = \alpha + \beta
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
& \alpha + \beta + \gamma = 3 \\\\
& 2 \gamma + \gamma = 3 \\\\
& 3 \gamma = 3 \\\\
\gamma & = 1
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi nilai \(\gamma = 1\) ke persamaan
\begin{equation*}
\begin{split}
& x^3 - 3x^2 - px + 15 = 0 \\\\
& (1)^3 - 3 \:.\: (1)^2 - p \:.\: (1) + 15 = 0 \\\\
& \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {p = 13}
\end{split}
\end{equation*}
SOAL 18
Persamaan polinomial yang memiliki akar-akar −2, 1 dan 4 adalah ...
(A) \(x^3 + 3x^2 + 4x - 6 = 0\)
(B) \(x^3 + 3x^2 - 4x - 8 = 0\)
(C) \(x^3 - 3x^2 + 8x + 6 = 0\)
(D) \(x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0\)
(E) \(x^3 - 3x^2 - 6x - 8 = 0\)
Pembahasan
Jawaban: E
Cara 1
Persamaan baru:
\begin{equation*}
\begin{split}
& (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = 0 \\\\
& (x + 2 )(x - 1)(x - 4) = 0 \\\\
& (x^2 + x - 2)(x - 4) = 0 \\\\
& x^3 - 4x^2 + x^2 - 4x - 2x + 8 = 0 \\\\
& \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0}
\end{split}
\end{equation*}
Cara 2
\(\alpha + \beta + \gamma\)
\(-2 + 1 + 4 \)
\(3 \)
\(\alpha \:.\: \beta + \alpha \:.\: \gamma + \beta \:.\: \gamma \)
\((-2) \:.\: 1 + (-2) \:.\: 4 + 1 \:.\: 4 \)
\(-6\)
\(\alpha \:.\: \beta \:.\: \gamma\)
\((-2) \:.\: 1 \:.\: 4\)
\(-8\)
Persamaan baru:
\begin{equation*}
\begin{split}
& x^3 -(\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha \:.\: \beta + \alpha \:.\: \gamma + \beta \:.\: \gamma)x - (\alpha \:.\: \beta \:.\: \gamma) = 0 \\\\
& \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0}
\end{split}
\end{equation*}
SOAL 19
Persamaan yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan \(2x^3 - 5x^2 + 4x + 6 = 0\) adalah ...
(A) \(x^3 + 5x^2 + 4x + 16 = 0\)
(B) \(x^3 - 5xv - 4x + 16 = 0\)
(C) \(x^3 + 5x^2 - 8x + 16 = 0\)
(D) \(x^3 + 5x^2 - 8x - 24 = 0\)
(E) \(x^3 - 5x^2 + 8x + 24 = 0\)
Pembahasan
Jawaban: E
Akar-akar persamaan \(2x^3 - 5x^2 + 4x + 6 = 0\) adalah \(x_1, x_2\) dan \(x_3\)
Persamaan baru memiliki akar-akar \(\alpha, \beta\) dan \(\gamma\) dimana:
\(\alpha = 2 \:.\: x_1\)
\(\beta = 2 \:.\: x_2\)
\(\gamma = 2 \:.\: x_3\)
Cara 1
\(\alpha = 2 \:.\: x_1 \rightarrow x_1 = \tfrac 12 \alpha\)
Substitusi \(x_1 = \frac 12 \alpha\) ke persamaan \(2x^3 - 5x^2 + 4x + 6 = 0\)
\begin{equation*}
\begin{split}
& 2x^3 - 5x^2 + 4x + 6 = 0 \\\\
& 2 \:.\: (\tfrac 12 \alpha)^3 - 5 \:.\: (\tfrac 12 \alpha)^2 + 4 \:.\: (\tfrac 12 \alpha) + 6 = 0 \\\\
& \frac 14 \alpha^3 - \frac 54 \alpha^2 + 2 \alpha + 6 = 0 \\\\
& \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {\alpha^3 - 5 \alpha^2 + 8 \alpha + 24 = 0}
\end{split}
\end{equation*}
Persamaan baru \(x^3 - 5 x^2 + 8 x + 24 = 0 \)
Cara 2
Menentukan nilai dari \(\alpha + \beta + \gamma\)
\begin{equation*}
\begin{split}
& \alpha + \beta + \gamma \\\\
& 2 \:.\: x_1 + 2 \:.\: x_2 + 2 \:.\: x_3 \\\\
& 2 \:.\: ( x_1 + x_2 + x_3) \\\\
& \color {blue} {5}
\end{split}
\end{equation*}
Menentukan nilai dari \(\alpha \:.\: \beta + \alpha \:.\: \gamma + \beta \:.\: \gamma\)
\begin{equation*}
\begin{split}
& \alpha \:.\: \beta + \alpha \:.\: \gamma + \beta \:.\: \gamma & \\\\
& 2 \:.\: x_1 \:.\: 2 \:.\: x_2 + 2 \:.\: x_1 \:.\: 2 \:.\: x_3 + 2 \:.\: x_2 \:.\: 2 \:.\: x_3 \\\\
& 4 (x_1 \:.\: x_2 + x_1 \:.\: x_3 + x_2 \:.\: x_3) \\\\
& \color {blue} {8}
\end{split}
\end{equation*}
Menentukan nilai dari \(\alpha \:.\: \beta \:.\: \gamma\)
\begin{equation*}
\begin{split}
& \alpha \:.\: \beta \:.\: \gamma \\\\
& 2 \:.\: x_1 \:.\: 2 \:.\: x_2 \:.\: 2 \:.\: x_3 \\\\
& \color {blue} {-24}
\end{split}
\end{equation*}
Persamaan baru:
\begin{equation*}
\begin{split}
& x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha \:.\: \beta + \alpha \:.\: \gamma + \beta \:.\: \gamma)x - (\alpha \:.\: \beta \:.\: \gamma) = 0 \\\\
& \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {x^3 - 5x^2 + 8x + 24 = 0}
\end{split}
\end{equation*}
SOAL 20
Diketahui \(\dfrac {A}{x - 3} + \dfrac {B}{x + 5} = \dfrac {5x + 1}{x^2 + 2x - 15}\)
Nilai dari \(B^2 - A^2 = \dotso\)
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Pembahasan
Jawaban: E
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac {A}{x - 3} + \frac {B}{x + 5} & = \frac {5x + 1}{x^2 + 2x - 15} \\\\
\frac {A(x + 5) + B(x - 3)}{(x - 3)(x + 5)} & = \frac {5x + 1}{x^2 + 2x - 15} \\\\
A(x + 5) + B(x - 3) & = 5x + 1 \quad {\color {red} \dotso \: (1)}
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi x = −5 ke persamaan (1)
\begin{equation*}
\begin{split}
& A(-5 + 5) + B(-5 - 3) = 5 \:.\: -5 + 1 \\\\
& -8B = -24 \\\\
& B = 3
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi x = 3 ke persamaan (1)
\begin{equation*}
\begin{split}
& A(3 + 5) + B(3 - 3) = 5 \:.\: 3 + 1 \\\\
& 8A = 16 \\\\
& A = 2
\end{split}
\end{equation*}
\(\bbox[5px, border: 2px solid magenta] {B^2 - A^2 = 3^2 - 2^2 = 5}\)
