A. BENTUK DASAR
\(y = ax^n\) maka \(y' = a \:.\: n \:.\: x^{n - 1}\)
Contoh
(1) \(y = 2x^7\)
\begin{equation*} \begin{split} y & = 2x^7 \\\\ y' & = 2 \:.\: 7 \:.\: x^{7-1} \\\\ y' & = 14 \:.\: x^6 \end{split} \end{equation*}
(2) \(y = 4x\)
\begin{equation*} \begin{split} y & = 4x \\\\ y & = 4 \:.\: x^1\\\\ y' & = 4 \:.\: 1 \:.\: x^{1-1} \\\\ y' & = 4 \:.\: x^0 \\\\ y' & = 4 \end{split} \end{equation*}
(3) \(y = 5\)
\begin{equation*} \begin{split} y & = 5 \\\\ y & = 5 \:.\: x^0\\\\ y' & = 5 \:.\: 0 \:.\: x^{0-1} \\\\ y' & = 0 \end{split} \end{equation*}
Suatu fungsi dapat diturunkan berkali-kali. Turunan kedua adalah fungsi turunan pertama yang diturunkan lagi. Turunan ketiga adalah fungsi turunan kedua yang diturunkan lagi. Dan seterusnya.
Contoh
\begin{equation*} \begin{split} y & = 5x^3 \\\\ y' & = 5 \:.\: 3 \:.\: x^{3-1} \quad {\color {blue} \text{(turunan pertama)}}\\\\ y' & = 15 \:.\: x^2 \\\\ y'' & = 15 \:.\: 2 \:.\: x^{2 - 1} \quad {\color {blue} \text{(turunan kedua)}}\\\\ y'' & = 30 \:.\: x \\\\ y''' & = 30 \quad {\color {blue} \text{(turunan ketiga)}} \end{split} \end{equation*}
Notasi Turunan
| Turunan pertama | \(y'\) | \(\dfrac {dy}{dx}\) |
| Turunan kedua | \(y''\) | \(\dfrac {d^2y}{dx^2}\) |
| Turunan ketiga | \(y'''\) | \(\dfrac {d^3y}{dx^3}\) |
B. ATURAN RANTAI
\(\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {dy}{du} \:.\: \dfrac {du}{dx}\)
Aturan berantai pada turunan digunakan untuk melakukan turunan pada fungsi yang berbeda parameter.
Contoh
DIketahui \(y (u) = u^2 + 5u\) dan \(u (x) = 3x\). Tentukan \(\dfrac {dy}{dx}\)
\begin{equation*} \begin{split} y (u) & = u^2 + 5u \\\\ \dfrac {dy}{du} & = 2u + 5 \end{split} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{split} u (x) & = 3x \\\\ \frac {du}{dx} & = 3 \end{split} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{split} \frac {dy}{dx} & = \frac {dy}{du} \:.\: \frac {du}{dx} \\\\ \frac {dy}{dx} & = (2u + 5) \:.\: 3 \\\\ \frac {dy}{dx} & = 6u + 15 \\\\ \frac {dy}{dx} & = 6(3x) + 15 \\\\ \frac {dy}{dx} & = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {18x + 15} \end{split} \end{equation*}
Aturan berantai dapat digunakan untuk melakukan penurunan pada fungsi yang lebih kompleks. Ada dua metode untuk menggunakan aturan berantai, yaitu cara pemisalan dan cara langsung.
Contoh
\(y = (3x + 2)^5\)
Cara 1 (Pemisalan)
Misal \(u = 3x + 2\) maka \(y = u^5\)
\(y = u^5 \rightarrow \dfrac {dy}{du} = 5 \:.\: u^4\)
\(u = 3x + 2 \rightarrow \dfrac {du}{dx} = 3\)
\begin{equation*} \begin{split} \frac {dy}{dx} & = \frac {dy}{du} \:.\: \frac {du}{dx} \\\\ \frac {dy}{dx} & = 5 \:.\: u^4 \:.\: 3 \\\\ \frac {dy}{dx} & = 15 \:.\: u^4 \\\\ \frac {dy}{dx} & = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {15 \:.\: (3x + 2)^4} \end{split} \end{equation*}
Cara 2 ( Langsung)
\begin{equation*} \begin{split} y & = ({\color {red} 3x + 2})^5 \\\\ \frac {dy}{dx} & = 5 \:.\: {\color {red} 3} \:.\: (3x + 2)^4 \\\\ \frac {dy}{dx} & = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {15 \:.\: (3x + 2)^4} \end{split} \end{equation*}
C. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN
\(y = u \:.\: v \rightarrow y' = u' \:.\: v + u \:.\: v'\)
\(y = u \:.\: v \:.\: w \rightarrow y' = u' \:.\: v \:.\: w + u \:.\: v' \:.\: w + u \:.\: v \:.\: w'\)
\(y = \dfrac uv \rightarrow y' = \dfrac {u' \:.\: v - u \:.\: v'}{v^2}\)
Contoh 01
\(y = (x^2 + 3x + 4) \:.\: (6x + 2)\)
\begin{equation*} \begin{split} u & = x^2 + 3x + 4 \rightarrow u' = 2x + 3 \\\\ v & = 6x + 2 \rightarrow v' = 6 \\\\\\ y' & = u' \:.\: v + u \:.\: v' \\\\ y' & = ( 2x + 3) \:.\: (6x + 2) + (x^2 + 3x + 4) \:.\: 6 \\\\ y' & = 12x^2 + 18x + 4x + 6 + 6x^2 + 18x + 24 \\\\ y' & = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {18x^2 + 40x + 30} \end{split} \end{equation*}
Contoh 02
\(y = \dfrac{2x}{3x + 1}\)
\begin{equation*} \begin{split} u & = 2x \rightarrow u' = 2 \\\\ v & = 3x + 1 \rightarrow v' = 3 \\\\\\ y' & = \frac {u' \:.\: v - u \:.\: v'}{v^2} \\\\ y' & = \frac {2 \:.\: (3x + 1) - 2x \:.\: 3}{(3x + 1)^2} \\\\ y' & = \frac {6x + 2 - 6x}{(3x + 1)^2} \\\\ y' & = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {\frac {2}{(3x + 1)^2}} \end{split} \end{equation*}
SOAL LATIHAN
Tentukan turunan pertama dari:
\(y = (2x + 1)^3 \:.\: (4 - 5x)^4\)
\(y = (2x + 1)^3 \:.\: (4 - 5x)^4\)
Pembahasan:
\begin{equation*} \begin{split} u & = (2x + 1)^3 \\\\ u' & = 3 \:.\: 2 \:.\: (2x + 1)^2 \\\\ u' & = 6 \: (2x + 1)^2 \end{split} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{split} v & = (4 - 5x)^4 \\\\ v' & = 4 \:.\: -5 \:.\: (4 - 5x)^3 \\\\ v' & = - 20 \: (4 - 5x)^3 \end{split} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{split} y' & = u' \:.\: v + u \:.\: v' \\\\ y' & = 6 \: (2x + 1)^2 \:.\: (4 - 5x)^4 + (2x + 1)^3 \:.\: 4 \:.\: -5 \: (4 - 5x)^3 \\\\ y' & = 6 \: (2x + 1)^2 \: (4 - 5x)^4 - 20 \: (4 - 5x)^3 \: (2x + 1)^3 \\\\ y' & = (2x + 1)^2 \: (4 - 5x)^3 \: [6(4 - 5x) - 20(2x + 1) ] \\\\ y' & = (2x + 1)^2 \: (4 - 5x)^3 \: [24 - 30x - 40x - 20] \\\\ y' & = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {(2x + 1)^2 \: (4 - 5x)^3 \: (-70x + 4)} \end{split} \end{equation*}
D. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Fungsi implisit adalah fungsi dimana variabel x dan y terletak pada sisi yang sama dan tidak dapat dipisahkan.
Contoh
\(x^3 + y^5 + x^2 \: y^3 - 3x + 4y + 5 = 0\)
Fungsi implisit dapat diturunkan dengan cara menurunkan seluruh persamaan.
\begin{equation*} \begin{split} & x^3 + y^5 + x^2 \: y^3 - 3x + 4y + 5 = 0 \\\\ & 3x^2 + 5y^4 \:.\: y' + 2x \:.\: y^3 + x^2 \:.\: 3y^2 \:.\: y' - 3 + 4y' + 0 = 0 \\\\ & y' (5y^4 + 3x^2 y^2 + 4) = 3 - 3x^2 - 2xy^3 \\\\ & y' = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {\frac {3 - 3x^2 - 2xy^3}{5y^4 + 3x^2 y^2 + 4}} \end{split} \end{equation*}
Catatan:
- turunan dari \(y\) adalah \(y'\), sehingga turunan dari \(y^5\) adalah \(5y^4 \:.\: y'\)
- turunan dari \(x^2 \: y^3\) menggunakan rumus perkalian \(u \:.\: v\)
E. TURUNAN FUNGSI PARAMETER
\(\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}\)
Fungsi parameter adalah fungsi dimana variabel x dan y terpisah oleh parameter tertentu. Misalnya:
\(x = 10t\)
\(y = 8t - 3t^2\)
\begin{equation*} \begin{split} \frac {dy}{dx} & = \frac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}} \\\\ \frac {dy}{dx} & = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {\frac {10}{8 - 6t}} \end{split} \end{equation*}