LATIHAN SOAL
SOAL 01
Diberikan persamaan \(\dfrac {x - 2}{3} + \dfrac {y + 1}{6} = 2\) dan \(\dfrac {x + 3}{4} + \dfrac {2y - 1}{2} = 1 \), maka nilai \( \dfrac {1}{x + y} = \dotso\)
(A) \(\dfrac 18\)
(B) \(\dfrac 19\)
(C) \(\dfrac {3}{25}\)
(D) \(\dfrac {7}{48}\)
(E) \(\dfrac {9}{76}\)
Pembahasan
Jawaban: D
\begin{equation*}
\begin{split}
& \frac {x - 2}{3} + \frac {y + 1}{6} = 2 \quad {\color {red} \times \: 6} \\\\
& 2(x - 2) + y + 1 = 12 \\\\
& 2x - 4 + y + 1 = 12 \\\\
& 2x + y = 15 \quad {\color {red} \dotso \: (1)} \\\\
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
& \dfrac {x + 3}{4} + \dfrac {2y - 1}{2} = 1 \quad {\color {red} \times \: 4} \\\\
& x + 3 + 2(2y - 1) = 4 \\\\
& x + 3 + 4y - 2 = 4 \\\\
& x + 4y = 3 \quad {\color {red} \dotso \: (2)} \\\\
\end{split}
\end{equation*}
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
\begin{equation*}
\begin{array}{lllllllll}
2x & + & y & = 15 & | \: {\color {red} \times 1} \: | & 2x & + & y & = 15 \\\\
x & + & 4y & = 3 & | \: {\color {red} \times 2} \: | & 2x & + & 8y & = 6 \quad (-) \\\\
\hline \\
&&&&&&& -7y & = 9 \\\\
&&&&&&& y & = - \dfrac 97
\end{array}
\end{equation*}
Substitusi \(y = - \dfrac 97\) ke persamaan (1)
\begin{equation*}
\begin{split}
& 2x + y = 15 \\\\
& 2x - \frac 97 = 15 \quad {\color {red} \times \: 7} \\\\
& 14x - 9 = 105 \\\\
& 14x = 114 \\\\
& x = \frac {57}{7}
\end{split}
\end{equation*}
Nilai dari \(\dfrac {1}{x + y}\)
\begin{equation*}
\begin{split}
& \frac {1}{x + y} \\\\
& \frac {1}{\dfrac {57}{7} - \dfrac 97} \\\\
& \frac {1}{\dfrac {48}{7}} \\\\
& \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {\frac {7}{48} }
\end{split}
\end{equation*}
SOAL 02
Diketahui:
\(x + y + 2z = k \quad \dotso \: (1)\)
\(x + 2y + z = k \quad \dotso \: (2)\)
\(2x + y + z = k \quad \dotso \: (3)\)
dimana \(k \neq 0\).
Nilai dari \(x^2 + y^2 + z^2\) dinyatakan dalam \(k\) adalah ...
(A) \(\dfrac {k^2}{16}\)
(B) \(\dfrac {3k^2}{16}\)
(C) \(\dfrac {4k^2}{17}\)
(D) \(\dfrac {3k^2}{8}\)
(E) \(\dfrac {2k^2}{3}\)
Pembahasan
Jawaban: B
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
\begin{equation*}
\begin{array}{llllll}
x & + & y & + & 2z & = k \\\\
x & + & 2y & + & z & = k \quad (-) \\\\
\hline \\
&& -y & + & z & = 0 \\\\
&&&& z & = y
\end{array}
\end{equation*}
Eliminasi persamaan (2) dan (3)
\begin{equation*}
\begin{array}{llllll}
x & + & 2y & + & z & = k \\\\
2x & + & y & + & z & = k \quad (-) \\\\
\hline \\
-x & + & y &&& = 0 \\\\
&& y &&& = x
\end{array}
\end{equation*}
Dapat disimpulkan bahwa \(x = y = z\)
\begin{equation*}
\begin{split}
& x + y + 2z = k \\\\
& x + x + 2x = k \\\\
& 4x = k \\\\
& x = \frac k4
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
& x^2 + y^2 + z^2 \\\\
& \left(\frac k4 \right)^2 + \left(\frac k4 \right)^2 + \left(\frac k4 \right)^2 \\\\
& \frac {k^2}{16} + \frac {k^2}{16} + \frac {k^2}{16} \\\\
& \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {\frac {3k^2}{16}}
\end{split}
\end{equation*}
SOAL 03
Jika \((a,b)\) dengan \(b \neq 1\) adalah penyelesaian dari sistem persamaan:
\(x^2 - y^2 - 2x + 2 = 0 \quad \dotso \: (1)\)
\(2xy - 2y = 0 \quad \dotso \: (2)\)
Maka \(a + b = \dotso\)
(A) \(-2\)
(B) \(-1\)
(C) \(0\)
(D) \(1\)
(E) \(3\)
Pembahasan
Jawaban: C
Persamaan (2)
\begin{equation*}
\begin{split}
& 2xy - 2y = 0 \\\\
& 2y(x - 1) = 0\\\\
& y = 0 \text{ atau } x = 1
\end{split}
\end{equation*}
Untuk y = 0
\begin{equation*}
\begin{split}
& x^2 - y^2 - 2x + 2 = 0 \\\\
& x^2 - 2x + 2 = 0
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
& D = b^2 - 4ac \\\\
& D = (-2)^2 - 4(1)(2) \\\\
& D = -4
\end{split}
\end{equation*}
Nilai diskriminan < 0, tidak ada nilai x yang real.
Untuk x = 1
\begin{equation*}
\begin{split}
& x^2 - y^2 - 2x + 2 = 0 \\\\
& 1^2 - y^2 - 2(1) + 2 = 0 \\\\
& -y^2 = -1 \\\\
& y^2 = 1 \\\\
& y = \pm 1
\end{split}
\end{equation*}
Maka ada dua kemungkinan jawaban:
\((1,1)\) dan \((1,-1)\)
Karena \(b \neq 1\), maka jawaban yang memenuhi adalah \((1,-1)\)
\(\bbox[5px, border: 2px solid magenta] {a + b = 1 - 1 = 0}\)
SOAL 04
Diketahui dua sistem persamaan:
\(ax + 2y = b + 1 \quad \dotso \: (1)\)
\(x + y = 3 \quad \dotso \: (2)\)
\(2x + y = a^2 + 2 \quad \dotso \: (3)\)
\(x + 3y = 3 \quad \dotso \: (4)\)
memiliki solusi yang sama, maka banyaknya pasangan bilangan \(a\) dan \(b\) adalah ...
(A) \(0\)
(B) \(1\)
(C) \(2\)
(D) \(3\)
(E) tak berhingga
Pembahasan
Jawaban: C
Karena kedua sistem persamaan memiliki solusi yang sama, berarti memiliki nilai \(x\) dan \(y\) yang sama.
Eliminasi persamaan (2) dan (4)
\begin{equation*}
\begin{split}
& x + y = 3 \\\\
& x + 3y = 3 \quad (-) \\\\
\hline \\
& -2y = 0 \\\\
& y = 0
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi y = 0 ke persamaan (2)
\begin{equation*}
\begin{split}
& x + y = 3 \\\\
& x + 0 = 3 \\\\
& x = 3
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi nilai x = 3 dan y = 0 ke persamaan (1) dan (3)
\begin{equation*}
\begin{split}
& 2x + y = a^2 + 2 \\\\
& 2(3) + 0 = a^2 + 2 \\\\
& 6 = a^2 + 2 \\\\
& a^2 = 4 \\\\
& a = \pm 2
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
& ax + 2y = b + 1 \\\\
& 3a + 0 = b + 1 \\\\
& b = 3a - 1
\end{split}
\end{equation*}
Untuk \(a = 2\), \(b = 5\)
Untuk \(a = -2\), \(b = -7\)
SOAL 05
Jumlah nilai-nilai \(x\) yang memenuhi sistem persamaan berikut:
\((x - 2)(y - 1) = 3 \)
\((x + 2)(2y - 5) = 15 \)
adalah ...
(A) \(-4\)
(B) \(-3\)
(C) \(3\)
(D) \(4\)
(E) \(5\)
Pembahasan
Jawaban: B
\begin{equation*}
\begin{split}
& (x - 2)(y - 1) = 3 \\\\
& xy - x - 2y + 2 = 3 \\\\
& xy - x - 2y = 1 \quad {\color {red} \dotso \: (1)}
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
& (x + 2)(2y - 5) = 15 \\\\
& 2xy - 5x + 4y - 10 = 15 \\\\
& 2xy - 5x + 4y = 25 \quad {\color {red} \dotso \: (2)}
\end{split}
\end{equation*}
Eliminasi \(xy\) dari persamaan (1) dan (2)
\begin{equation*}
\begin{array}{llllll}
xy & - & x & - & 2y & = 1 & | \: {\color {red} \times 2} \: | & 2xy & - & 2x & - & 4y & = 2 & \\\\
2xy & - & 5x & + & 4y & = 25 & | \: {\color {red} \times 1} \: | & 2xy & - & 5x & + & 4y & = 25 & \quad (-) \\\\
\hline \\
&&&&&&&&& 3x & - & 8y &= -23 \\\\
&&&&&&&&&&& -8y & = -3x - 23 \\\\
&&&&&&&&&&& y & = \dfrac {3x + 23}{8}
\end{array}
\end{equation*}
Substitusi \(x = \dfrac {8y - 23}{3}\) ke persamaan (1)
\begin{equation*}
\begin{split}
& (x - 2)(y - 1) = 3 \\\\
& (x - 2) \left(\frac {3x + 23}{8} - 1 \right) = 3 \\\\
& (x - 2) \left(\frac {3x + 23}{8} - \frac 88 \right) = 3 \\\\
& (x - 2) \left(\frac {3x + 15}{8} \right) = 3 \quad {\color {blue} \times \: 8}\\\\
& (x - 2)(3x + 15) = 24 \\\\
& \cancel {3} (x - 2)(x + 5) = \cancel {24} \\\\
& (x - 2)(x + 5) = 8 \\\\
& x^2 + 3x - 10 = 8 \\\\
& x^2 + 3x - 18 = 0 \\\\
& x_1 + x_2 = - \frac ba \\\\
& x_1 + x_2 = - \frac 31 \\\\
& x_1 + x_2 = - 3
\end{split}
\end{equation*}
SOAL 06
Diketahui sistem persamaan linear berikut:
\(13x + 11y = 700\)
\(mx - y = 1\)
Agar pasangan bilangan bulat (x,y) memenuhi sistem persamaan linear tersebut, banyaknya nilai \(m\) yang memenuhi adalah ...
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) 5
(E) 6
SOAL 07
Diketahui bilangan \(a\) dan \(b\) dengan \(a \geq b\). Kedua bilangan memenuhi \(a^2 + b^2 = 42\) dan \(ab = 3\). Nilai \(a - b = \dotso\)
(A) \(3 \sqrt{14}\)
(B) \(6\)
(C) \(\sqrt{42}\)
(D) \(2\sqrt{14}\)
(E) \(9\)
SOAL 08
Diketahui \(a^2 + b^2 = 1\) dan \(c^2 + d^2 = 1\). Nilai minimum dari \(ac + bd - 2 = \dotso\)
(A) \(-6\)
(B) \(-5\)
(C) \(-3\)
(D) \(3\)
(E) \(5\)
SOAL 09
Jika garis \(g \equiv a(x + y) + (x - y) = 0\) dan garis \(g \equiv (5y - x) + 3a(y - x) = 5\) saling tegak lurus, maka nilai \(a\) adalah ...
(A) \(-3\)
(B) \(-1,5\)
(C) \(\dfrac 23\)
(D) \(\dfrac 32\)
(E) tak berhingga
SOAL 10
Seorang anak melihat dua balon udara di angkasa. Balon udara pertama berada 10 meter di atas permukaan tanah dan bergerak vertikal ke atas dengan kecepatan 15 meter per menit. Balon udara kedua berada 120 meter di atas permukaan tanah dan bergerak vertikal ke bawah dengan kecepatan 20 meter per menit. Tinggi balon udara kedua akan sama dengan dua kali tinggi balon udara pertama pada menit …
(A) kedua
(B) keenam
(C) kedua belas
(D) kelima belas
(E) kedua puluh
SOAL 11
SOAL 12
SOAL 13
SOAL 14
SOAL 15
Before
Next
