A. DASAR-DASAR VEKTOR
1. NOTASI VEKTOR
Vektor merupakan simbol untuk menyatakan suatu besaran yang memiliki nilai dan arah.
Misalnya vektor \(\overrightarrow a\) yang memiliki komponen 3 unit ke arah kanan dan 2 unit ke arah atas dapat dinyatakan sebagai berikut:
\(\overrightarrow{a} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) = 3 \: \widehat i + 2 \: \widehat j \)
Suatu titik \(P\) dengan koordinat \((a,b)\) memiliki vektor posisi \(\overrightarrow p = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right) \)
\( \bbox[10px, border: 2px solid red]{\overrightarrow{p} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right) = a \: \widehat i + b \: \widehat j}\)
2. KESAMAAN DUA VEKTOR
Jika dua buah vektor \(\overrightarrow p = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)\) dan \(\overrightarrow q = \left( \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right)\) dimana \(\overrightarrow p = \overrightarrow q\), maka:
\(a = c \)
\(b = d \)
3. VEKTOR PERPINDAHAN
Suatu vektor yang menghubungkan dua titik \(P(a,b)\) dan \(Q(c,d)\) dapat dinyatakan dengan \(\overrightarrow {PQ} \)
\begin{equation*} \begin{split} & \bbox[10px, border: 2px solid red]{\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow q - \overrightarrow p} \\\\ & \overrightarrow{PQ} = \left( \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)\\\\ & \overrightarrow{PQ} = \left( \begin{matrix} c - a \\ d - b \\ \end{matrix} \right) \end{split} \end{equation*}
4. Panjang Dan Arah Vektor
Jika vektor \(\overrightarrow p = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)\), maka:
Panjang vektor
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{ | \: \overrightarrow p \: |= \sqrt{a^2 + b^2}} \)
Arah vektor
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{\tan \theta = \dfrac ba }\)
5. Vektor Satuan
Sebuah vektor \(\overrightarrow p\) dinyatakan dengan \(\overrightarrow p = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)\).
Maka vektor satuan dari \(\overrightarrow p\) adalah vektor yang memiliki arah sama dengan vektor \(\overrightarrow p\) namun memiliki panjang 1 satuan.
Vektor satuan dari \(\overrightarrow p\) dilambangkan dengan \(\widehat p\)
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{\widehat p = \dfrac {\overrightarrow p}{| \: \overrightarrow p \: |}}\)
\(\widehat p = \dfrac {\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
6. Perkalian Skalar Pada Vektor
Diketahui vektor \(\overrightarrow p = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)\) dan skalar \(k\)
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{k \:.\: \overrightarrow p = k \:.\: \left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k \:.\: a \\ k \:.\: b \\ \end{matrix} \right)}\)
7. Penjumlahan Dan Pengurangan Vektor
Diketahui dua buah vektor \(\overrightarrow p = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)\) dan \(\overrightarrow q = \left( \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right)\)
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{\overrightarrow p + \overrightarrow q = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a + c \\ b + d \\ \end{matrix} \right)}\)
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{\overrightarrow p - \overrightarrow q = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a - c \\ b - d \\ \end{matrix} \right)}\)
8. Dua Vektor Segaris (Collinear)
Dua vektor \(\overrightarrow p\) dan \(\overrightarrow q\) yang segaris/collinear (terletak pada garis yang sama) akan memenuhi:
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{\overrightarrow p = k \:.\: \overrightarrow q}\)
\(k\) adalah konstanta. Apabila \(k\) bernilai negatif, maka \(\vec p\) berlawanan arah dengan \(\vec q\).
9. Tiga Vektor Sebidang (Coplanar)
Tiga vektor \(\overrightarrow p\), \(\overrightarrow q\) dan \(\overrightarrow r\) yang sebidang/coplanar (terletak pada bidang yang sama) akan memenuhi:
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{\overrightarrow r = m \:.\: \overrightarrow p + n \:.\: \overrightarrow q}\)
\(m\) dan \(n\) adalah konstanta.
10. Pembagian Ruas
Titik \(R\) membagi ruas \(PQ\) dengan perbandingan \(m : n\), seperti gambar di bawah ini:
Koordinat titik \(R\) dapat ditentukan dengan:
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{\overrightarrow r = \dfrac {m \:.\: \overrightarrow p + n \:.\: \overrightarrow q}{m + n}} \)
B. PERKALIAN VEKTOR
1. Perkalian Titik (Dot Product)
Perkalian titik (dot product) dari \(\vec p = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \\ \end{matrix} \right)\) dan \(\overrightarrow q = \left( \begin{matrix} d \\ e \\ f \\ \end{matrix} \right)\) dapat ditentukan dengan dua cara:
(A) \(\bbox[10px, border: 2px solid red]{\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q = a \:.\: d + b \:.\: e + c \:.\: f }\)
(B) \(\bbox[10px, border: 2px solid red]{ \overrightarrow p \cdot \overrightarrow q = \lvert \: \overrightarrow p \: \rvert \:.\: | \: \overrightarrow q \: | \:.\: \cos \theta }\)
\(\theta\) adalah sudut antara vektor \(\overrightarrow p\) dan vektor \(\overrightarrow q\)
Dua vektor yang saling tegak lurus (membentuk sudut 90º), maka \(\bbox[10px, border: 2px solid red]{ \overrightarrow p \cdot \overrightarrow q = 0}\)
2. Perkalian Silang (Cross Product)
Perkalian silang (cross product) dari dua buah vektor \(\overrightarrow p = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \\ \end{matrix} \right)\) dan \(\overrightarrow q = \left( \begin{matrix} d \\ e \\ f \\ \end{matrix} \right)\):
\begin{equation*} \begin{split} \bbox[10px, border: 2px solid red]{\overrightarrow p \times \overrightarrow q = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a & b & c \\ d & e & f \\ \end{vmatrix} = i \: \begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} - j \: \begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} + k \: \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}} \end{split} \end{equation*}
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{ | \: \overrightarrow p \times \overrightarrow q \:| = | \: \overrightarrow p \: | \:.\: |\: \overrightarrow q\: | \:.\: \sin \theta }\)
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{ \overrightarrow q \times \overrightarrow p = - \overrightarrow p \times \overrightarrow q }\)
Luas Jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor \(\overrightarrow p\) dan vektor \(\overrightarrow q\)
\( \bbox[10px, border: 2px solid red]{L = | \: \overrightarrow p \times \overrightarrow q \:| }\)
Luas segitiga yang dibentuk oleh vektor \(\overrightarrow p\) dan vektor \(\overrightarrow q\)
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{ L = \frac 12 \: | \: \overrightarrow p \times \overrightarrow q \: | }\)
C. PROYEKSI VEKTOR
Diketahui dua buah vektor \(\overrightarrow p\) dan \(\overrightarrow q\)
Proyeksi vektor \(\overrightarrow p\) pada vektor \(\overrightarrow q\) dapat digambarkan sebagai berikut:
1. Proyeksi skalar orthogonal
Proyeksi skalar orthogonal vektor \(\overrightarrow p\) pada vektor \(\overrightarrow q\) (panjang proyeksi)
\( \bbox[10px, border: 2px solid red]{ \lvert \: \overrightarrow r \: \rvert = \dfrac {\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q}{ \lvert \: \overrightarrow q \: \rvert}} \)
2. Proyeksi vektor orthogonal
Proyeksi vektor orthogonal vektor \(\overrightarrow p\) pada vektor \(\overrightarrow q\) (vektor proyeksi)
\(\bbox[10px, border: 2px solid red]{\overrightarrow r = \: \dfrac {\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q}{\lvert \: \overrightarrow q \:\lvert ^2} \:.\: \overrightarrow q }\)