Himpunan Bagian dan Himpunan Bagian Sejati

$\text{A}$ disebut himpunan bagian dari $\text{B}$ ($\text{A}\subseteq \text{B}$) jika dan hanya jika setiap anggota dari $\text{A}$ merupakan anggota dari $\text{B}$

$\text{A}$ disebut himpunan bagian sejati dari $\text{B}$ ($\text{A}\subset \text{B}$) jika dan hanya jika setiap anggota dari $\text{A}$ merupakan anggota dari $\text{B}$, dan paling sedikit ada 1 anggota dari $\text{B}$ yang bukan termasuk anggota $\text{A}$

Contoh 1:

$\text{A}=\{1,2,3\}$

$\text{B}=\{3,1,2\}$

$\text{A}$ adalah himpunan bagian dari $\text{B}$.  ($\text{A}\subseteq \text{B}$)

Contoh 2:

$\text{P}=\{5,10,15,20\}$

$\text{Q}=\{5,10,15,20,25,30\}$

$\text{P}$ adalah himpunan bagian sejati dari $\text{Q}$ karena ada anggota dari $\text{Q}$ yaitu 25 dan 30 tidak berada di $\text{P}$. ($\text{P}\subset \text{Q}$)

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian sejati dari semua himpunan yang tidak kosong

Jumlah Himpunan Bagian

Jumlah seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan terdiri dari himpunan kosong, himpunan bagian yang memiliki 1 anggota, 2 anggota, 3 anggota, dan seterusnya

Jumlah seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan dengan $n$ anggota dirumuskan dengan $2^n$

Contoh 1:

Daftarlah semua himpunan bagian dari $\text{Q}$ dan tentukan jumlah seluruh himpunan bagiannya

$\text{Q}=\{\text{a, b, c, d}\}$

Himpunan bagian dari $\text{Q}$:

$\{\},\{\text{a}\},\{\text{b}\},\{\text{c}\},\{\text{d}\}\{\text{a,b}\},\{\text{a, c}\}$

$\{\text{a, d}\},\{\text{b, c}\},\{\text{b, d}\},\{\text{c, d}\},\{\text{a, b, c}\},\{\text{a, b, d}\}\{\text{b, c ,d}\},\{\text{a, c, d}\},\{\text{a, b, c, d}\}$

Jumlah seluruh himpunan bagian dari $\text{Q}$ adalah $2^n=2^4=16$

Contoh 2:

Tentukan jumlah himpunan bagian dari $\text{P = {a, b, c, d, e, f}}$ yang memiliki tepat 3 anggota

Jumlah seluruh himpunan bagian dari $\text{P}$ adalah $2^6$

Dengan menggunakan Segitiga Paskal, perhatikan angka−angka pada baris $2^6$, jumlah himpunan bagian yang terdiri dari 0 anggota ada sebanyak 1, terdiri dari 1 anggota ada sebanyak 6, terdiri dari 2 anggota ada sebanyak 15, dan terdiri dari 3 anggota ada sebanyak 20.

Jadi, jumlah himpunan bagian dari $\text{P}$ yang memiliki tepat 3 anggota ada sebanyak 20 himpunan