Himpunan Bagian dan Himpunan Bagian Sejati

\(\text{A}\) disebut himpunan bagian dari \(\text{B}\) (\(\text{A}\subseteq \text{B}\)) jika dan hanya jika setiap anggota dari \(\text{A}\) merupakan anggota dari \(\text{B}\)

\(\text{A}\) disebut himpunan bagian sejati dari \(\text{B}\) (\(\text{A}\subset \text{B}\)) jika dan hanya jika setiap anggota dari \(\text{A}\) merupakan anggota dari \(\text{B}\), dan paling sedikit ada 1 anggota dari \(\text{B}\) yang bukan termasuk anggota \(\text{A}\)

Contoh 1:

\(\text{A} = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace\)

\(\text{B} = \lbrace 3, 1, 2 \rbrace\)

\(\text{A}\) adalah himpunan bagian dari \(\text{B}\).  (\(\text{A} \subseteq \text{B}\))

Contoh 2:

\(\text{P} = \lbrace 5, 10, 15, 20 \rbrace\)

\(\text{Q} = \lbrace 5, 10, 15, 20, 25, 30 \rbrace\)

\(\text{P}\) adalah himpunan bagian sejati dari \(\text{Q}\) karena ada anggota dari \(\text{Q}\) yaitu 25 dan 30 tidak berada di \(\text{P}\). (\(\text{P} \subset \text{Q}\))

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian sejati dari semua himpunan yang tidak kosong

Jumlah Himpunan Bagian

Jumlah seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan terdiri dari himpunan kosong, himpunan bagian yang memiliki 1 anggota, 2 anggota, 3 anggota, dan seterusnya

Jumlah seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan dengan \(n\) anggota dirumuskan dengan \(2^{n}\)

Contoh 1:

Daftarlah semua himpunan bagian dari \(\text{Q}\) dan tentukan jumlah seluruh himpunan bagiannya

\(\text{Q} = \lbrace \text{a, b, c, d}\rbrace \)

Himpunan bagian dari \(\text{Q}\):

\(\lbrace \rbrace,\:\:\lbrace \text{a}\rbrace, \:\: \lbrace \text{b}\rbrace, \:\: \lbrace \text{c}\rbrace, \:\: \lbrace \text{d}\rbrace\, \:\: \lbrace \text{a,b}\rbrace, \:\: \lbrace \text{a, c}\rbrace\)

\(\lbrace \text{a, d}\rbrace,\:\:\lbrace \text{b, c}\rbrace, \:\: \lbrace \text{b, d}\rbrace, \:\: \lbrace \text{c, d}\rbrace, \:\:\lbrace \text{a, b, c}\rbrace, \:\: \lbrace \text{a, b, d}\rbrace\, \:\: \lbrace \text{b, c ,d}\rbrace, \:\:\lbrace \text{a, c, d} \rbrace, \:\: \lbrace \text{a, b, c, d}\rbrace\)

Jumlah seluruh himpunan bagian dari \(\text{Q}\) adalah \(2^n = 2^4 = 16\)

Contoh 2:

Tentukan jumlah himpunan bagian dari \(\text{P = {a, b, c, d, e, f}}\) yang memiliki tepat 3 anggota

Jumlah seluruh himpunan bagian dari \(\text{P}\) adalah \(2^{6}\)

Dengan menggunakan Segitiga Paskal, perhatikan angka−angka pada baris \(2^{6}\), jumlah himpunan bagian yang terdiri dari 0 anggota ada sebanyak 1, terdiri dari 1 anggota ada sebanyak 6, terdiri dari 2 anggota ada sebanyak 15, dan terdiri dari 3 anggota ada sebanyak 20.

Jadi, jumlah himpunan bagian dari \(\text{P}\) yang memiliki tepat 3 anggota ada sebanyak 20 himpunan