Aplikasi Turunan

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Interval fungsi naik dan fungsi turun dapat ditentukan dengan cara:

Fungsi naik → \(f' (x)>0\)

Fungsi turun → \(f' (x)<0\)


Contoh 01

Tentukan naik turunnya kurva \(y=12 x^4 - 24x^3 + 12x^2\)

 

Turunan

\begin{equation*} \begin{split} & f' (x) = 0\\\\ & 48 x^{3} - 72 x^{2} + 24 x = 0 \\\\ & 24 x \:.\: (2x^{2} - 3x + 1) = 0\\\\ & 24x \:.\: (2x - 1)(x - 1) = 0\\\\ & x = 0 \text{ atau } x = \frac{1}{2} \text{ atau } x = 1 \end{split} \end{equation*}

 

Harga nol fungsi: 0, ½, 1

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Kurva turun pada interval \(x < 0\) dan \(\frac 12 < x < 1\)

Kurva naik pada interval \(0 < x < \frac 12 \) dan \(x > 1\)

Uji titik untuk menentukan tanda + atau −

\(f'(x) = 24x \:.\: (2x - 1)\:.\: (x - 1) \)

\(f' (2) =24 \:.\: 2 \:.\: (2 \:.\: 2 - 1)\:.\: (2 - 1) > 0 \)

Pada \(x = 2\), fungsi bernilai positif.

Karena semua pembuat nol berpangkat ganjil, maka tanda berubah selang seling.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Titik Stationer

Titik stationer

\begin{equation*} f'(x) = 0 \end{equation*}

Jenis titik stationer

\begin{equation*} \begin{split} f''(x) & > 0 \quad \text{titik minimum lokal} \\\\ f''(x) & < 0 \quad \text{titik maksimum lokal} \\\\ f''(x) & = 0 \quad \text{titik belok} \end{split} \end{equation*}

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Rendered by QuickLaTeX.com


Contoh Soal

Diketahui kurva \(f(x)=\dfrac{1}{5} x^{5}-\dfrac{1}{3} x^{3}\).

Tentukan titik-titik stasioner kurva dan jenisnya.

 

Koordinat titik stasioner

\begin{equation*} \begin{split} & f(x)=\frac{1}{5} x^{5}-\frac{1}{3} x^{3} \\\\ & f' (x) =0\\\\ & x^{4}-x^{2} =0\\\\ & x^{2} \:.\: (x^{2}-1) =0\\\\ & x^2 \:.\: (x+1) \:.\: (x-1) =0\\\\ & x=0 \text{ atau } x=-1 \text{ atau } x=1 \end{split} \end{equation*}

 

Titik x = −1

\begin{equation*} \begin{split} f(-1) & = \frac{1}{5} (-1)^{5}-\frac{1}{3} (-1)^{3} \\\\ f(-1) & = \frac{2}{15} \end{split} \end{equation*}

Koordinat titik \(\left(-1,\dfrac{2}{15} \right)\)

Titik x = 0

\begin{equation*} \begin{split} f(0) & = \frac{1}{5} (0)^{5}-\frac{1}{3} (0)^{3} \\\\ f(0) & = 0 \\\\ \end{split} \end{equation*}

Koordinat titik \((0,0)\)

Titik x = 1

\begin{equation*} \begin{split} f(1) & = \frac{1}{5} (1)^{5}-\frac{1}{3} (1)^{3} \\\\ f(1) & = -\frac{2}{15} \end{split} \end{equation*}

Koordinat titik \(\left(1,-\dfrac{2}{15} \right)\)

 

Menentukan jenis titik stasioner dengan uji turunan kedua:

\begin{equation*} \begin{split} f(x) & =\frac{1}{5} x^{5}-\frac{1}{3} x^{3} \\\\ f'(x) & = x^{4}-x^{2} \\\\ f''(x)&=4x^{3}-2x \end{split} \end{equation*}

 

Titik \(\left (-1,\dfrac{2}{15} \right)\)

\begin{equation*} \begin{split} f''(-1) & = 4(-1)^{3}-2(-1) \\\\ f''(-1) & =-2 \: {\color[RGB]{0,0,255} < 0 \quad \text{(maksimum)}} \end{split} \end{equation*}

Titik \((0,0)\)

\begin{equation*} \begin{split} f''(0)&=4(0)^{3}-2(0) \\\\ f''(0)& =0 \quad {\color[RGB]{0,0,255} \text{(titik belok)}} \end{split} \end{equation*}

Titik \(\left(1,-\dfrac{2}{15} \right)\)

\begin{equation*} \begin{split} f''(1) & =4(1)^{3}-2(1) \\\\ f''(1) & = 2 \: {\color[RGB]{0,0,255} > 0 \quad \text{(minimum)}} \end{split} \end{equation*}

Sketsa Kurva

 

Langkah-langkah menggambar grafik:

  • Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y
  • Tentukan titik-titik stationer
  • Tentukan jenis stationer

Contoh

Sketsa kurva \(y = \dfrac 13 x^3 - x^2 - 2x + \dfrac 83\)

SOAL LATIHAN

--- Khusus Member ---

Garis singgung (Prev Lesson)
(Next Lesson) Maksimum dan minimum