Pemecahan masalah yang berkaitan dengan laju perubahan menggunakan aturan rantai:

${\displaystyle \frac{dy}{dt}}={\displaystyle \frac{dy}{dx}}\times {\displaystyle \frac{dx}{dt}}$

Contoh 01

Akibat pemuaian, sebuah logam berbentuk kubus bertambah 2 cm/menit.

Tentukan laju perubahan volume logam pada saat rusuknya 4 cm.

Misalkan rusuk kubus = $s$, maka ${\displaystyle \frac{ds}{dt}}=2\text{ cm/s}$ dan $s=4\text{ cm}$

Rumus volume kubus

$$V=s^3$$

Laju perubahan  volume

$$\begin{array}{rl}& \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{ds}.\frac{ds}{dt}\\ \\ & \frac{dV}{dt}=3s^2.2\\ \\ & \frac{dV}{dt}=6s^2\\ \\ & \frac{dV}{dt}=6.4^2\\ \\ & \frac{dV}{dt}=96{\text{ cm}}^3/\text{menit}\end{array}$$

Metode perkiraan/pendekatan untuk perubahan yang kecil:

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$

Contoh 02

Perkirakan nilai dari $\sqrt{4,1}$

$$\begin{array}{rl}& x=4\to y=\sqrt{4}=2\\ \\ & x=4,1\to y=\sqrt{4,1}=?\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& y=\sqrt{x}\\ \\ & \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\\ \\ & \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{dy}{dx}\\ \\ & \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ \\ & \frac{\mathrm{\Delta }y}{0,1}=\frac{1}{2\sqrt{4}}\\ \\ & \frac{\mathrm{\Delta }y}{0,1}=\frac{1}{4}\\ \\ & \mathrm{\Delta }y=\frac{1}{4}\times 0,01\\ \\ & \mathrm{\Delta }y=0,025\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& x=4\to y=\sqrt{4}=2\\ \\ & \mathrm{\Delta }x=0,1\to \mathrm{\Delta }y=0,025\\ \\ & x+\mathrm{\Delta }x=4,1\to y+\mathrm{\Delta }y=2+0,025=2,025\end{array}$$

$\sqrt{4,1}=2,025$

Persentase kesalahan dalam metode perhitungan 

Nilai dari $\sqrt{4,1}=2,024845673$ sedangkan dari metode perhitungan di atas adalah $2,025$

$\mathrm{\%}\text{error}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{y}}\times 100\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{0,0001543268684}{2,024845673}}\times 100\mathrm{\%}=0,0076\mathrm{\%}$

% kesalahan sangat kecil, sehingga metode perkiraan di atas dapat diandalkan.

Jika $s=f(t)$ menyatakan fungsi posisi sebuah benda yang bergerak dalam waktu t detik, maka:

$s=f(t)$

$v=s^{\prime }=f^{\prime }(t)$

$a=v^{\prime }=f^{″}(t)$

Contoh 03

Sebuah benda bergerak menurut persamaan $s(t)=t^3-2t+4$.

Tentukan persamaan kecepatan dan percepatan benda.

$$\begin{array}{rl}s(t)& =t^3-2t+4\\ \\ v(t)& =\frac{ds}{dt}=3t^2-2\\ \\ a(t)& =\frac{dv}{dt}=6t\end{array}$$