Aplikasi Turunan

Pemecahan masalah yang berkaitan dengan laju perubahan menggunakan aturan rantai:

\(\dfrac {dy}{dt} = \dfrac {dy}{dx} \times \dfrac {dx}{dt}\)

Contoh 01

Akibat pemuaian, sebuah logam berbentuk kubus bertambah 2 cm/menit.

Tentukan laju perubahan volume logam pada saat rusuknya 4 cm.

Misalkan rusuk kubus = \(s\), maka \( \dfrac{ds}{dt} = 2 \text{ cm/s}\) dan \(s = 4 \text{ cm}\)

Rumus volume kubus

\begin{equation*} V = s^{3} \end{equation*}

Laju perubahan  volume

\begin{equation*} \begin{split} & \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{ds} \:.\: \frac{ds}{dt}\\\\ & \frac{dV}{dt} = 3s^{2} \:.\: 2\\\\ & \frac{dV}{dt} = 6s^{2}\\\\ & \frac{dV}{dt} = 6 \:.\: 4^{2}\\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] { \frac{dV}{dt}= 96 \text{ cm}^3/\text{menit}} \end{split} \end{equation*}

Metode perkiraan/pendekatan untuk perubahan yang kecil:

\(\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {\Delta y}{\Delta x}\)

Contoh 02

Perkirakan nilai dari \(\sqrt{4,1}\)

\begin{equation*} \begin{split} & x = 4 \rightarrow y = \sqrt{4} = 2 \\\\ & x = 4,1 \rightarrow y = \sqrt{4,1} = \: ? \end{split} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{split} & y = \sqrt{x} \\\\ & \frac{dy}{dx} = \tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \\\\ & \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{split} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{split} & \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx} \\\\ & \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\\\ & \frac{\Delta y}{0,1} = \frac{1}{2\sqrt{4}} \\\\ & \frac{\Delta y}{0,1} = \frac{1}{4} \\\\ & \Delta y = \frac{1}{4} \times 0,01\\\\ & \Delta y = 0,025 \end{split} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{split} & x = 4 \rightarrow y = \sqrt{4} = 2 \\\\ & \Delta x = 0,1 \rightarrow \Delta y = 0,025 \\\\ & x + \Delta x = 4,1 \rightarrow y + \Delta y = 2 + 0,025 = 2,025 \end{split} \end{equation*}

\(\bbox[5px, border: 2px solid magenta] {\sqrt{4,1} = 2,025}\)

Persentase kesalahan dalam metode perhitungan 

Nilai dari \(\sqrt{4,1} = 2,024845673\) sedangkan dari metode perhitungan di atas adalah \(2,025\)

\(\% \: \text{error} = \dfrac {\Delta y}{y} \times 100 \% = \dfrac {0,0001543268684}{2,024845673} \times 100 \% = 0,0076 \%\)

% kesalahan sangat kecil, sehingga metode perkiraan di atas dapat diandalkan.

Jika \(s = f(t)\) menyatakan fungsi posisi sebuah benda yang bergerak dalam waktu t detik, maka:

\(s = f(t)\)

\(v = s' = f'(t)\)

\(a = v' =f''(t)\)

Contoh 03

Sebuah benda bergerak menurut persamaan \(s(t) = t^3 - 2t + 4\).

Tentukan persamaan kecepatan dan percepatan benda.

\begin{equation*} \begin{split} s(t) & = t^3 - 2t + 4 \\\\ v(t) & = \frac {ds}{dt} = 3t^2 - 2 \\\\ a(t) & = \frac {dv}{dt} = 6t \end{split} \end{equation*}