Maksimum dan minimum
Langkah-langkah menyelesaikan soal aplikasi maksimum dan minimum:
(1) bentuk persamaan dengan hanya mengandung satu variabel saja
(2) bila persamaan mengandung dua variabel, cari dahulu hubungan antara dua variabel
(3) gunakan turunan pertama untuk menentukan nilai stationer \((f' = 0)\)
(4) gunakan turunan kedua untuk menentukan jenis stationer (maksimum atau minimum)
Contoh
Jumlah dua buah bilangan sama dengan 150. Jika hasil kali dari salah satu bilangan dengan kuadrat bilangan yang lainnya mencapai nilai maksimum, tentukan kedua bilangan tersebut.
\begin{equation*} \begin{split} p + q & = 150 \\\\ p & = 150 - q \end{split} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{split} y & = p \:.\: q^2 \\\\ y & = (150 - q) \:.\: q^2 \\\\ y & = 150q^2 - q^3 \end{split} \end{equation*}
Nilai Stationer → \(y' = 0\)
\begin{equation*} \begin{split} y & = 150q^2 - q^3 \\\\ y' & = 300q - 3q^2 \\\\ 0 & = 300q - 3q^2 \\\\ 0 & = 3q \:.\: (100 - q) \\\\ q & = 0 \text{ atau } q = 100 \end{split} \end{equation*}
Terdapat 2 nilai q yang harus diuji, yaitu q = 0 dan q = 100. Pengujian dilakukan dengan menggunakan turunan kedua.
\begin{equation*} \begin{split} & y = 150q^2 - q^3 \\\\ & y' = 300q - 3q^2 \\\\ & y'' = 300 - 6q \\\\ & q = 0 \rightarrow y'' = 300 - 6(0) \quad \color {blue} { > 0 \text{ (minimum)}} \\\\ & q = 100 \rightarrow y'' = 300 - 6(100) \quad \color {blue} { < 0 \text{ (maksimum)}} \end{split} \end{equation*}
Maksimum tercapai saat \(q = 100\)
\begin{equation*} \begin{split} & p + q = 150 \\\\ & p + 100 = 150 \\\\ & p = 50 \end{split} \end{equation*}
Nilai p = 50 dan q = 100
SOAL LATIHAN